Arbeit, Energie und Leistung

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung

  • Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Kraft?
  • Woher kommt und wohin geht eigentlich die ganze Energie?
  • Kann man mit einem Fahrrad einen Liter Wasser zum Kochen bringen?

Potentielle Energie

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur potentiellen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{pot}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}}}{ {m} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}\]nach \(\color{Red}{h}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}}{ {m} \cdot {g}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\).\[\color{Red}{h} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{h}\) aufgelöst.
1 Schrittweises Auflösen der Formel für die potentielle Energie nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Kinetische Energie

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur kinetischen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot {v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{kin}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2\]nach \(\color{Red}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{v}^2 = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {m}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst.
1 Schrittweises Auflösen der Formel für die kinetische Energie nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Spannenergie

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Spannenergie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot {s}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{Spann}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2\]nach \(\color{Red}{D}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{D} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{s}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{D}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2\]nach \(\color{Red}{s}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{s}^2 = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {D}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{s} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst.
1 Schrittweises Auflösen der Formel für die Spannenergie nach den drei in der Formel auftretenden Größen