In Abb. 1 siehst du einen Körper 2 der Masse \(m_2\), der aus einer Höhe \(s\) losgelassen werden soll und sich dann ohne Luftwiderstand zu Boden bewegt. Der Körper ist mit einem Seil, das über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einem zweiten Körper 1 der Masse \(m_1\) verbunden, der auf seiner Unterlage mit einem Gleitreibungskoeffizient \(\mu _{\rm{GR}}\) gleiten kann. Es sei \(m_1=12\,\rm{kg}\), \(m_2=48\,\rm{kg}\), \(s=2{,}0\,\rm{m}\) und \(\mu _{\rm{GR}} = 0{,}20\). Rechne mit \({g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\).
a)Berechne mit Hilfe einer Energietabelle die Geschwindigkeit \(v\), mit der Körper 2 auf den Boden trifft.
b)Schwieriger: Entwickle mit Hilfe einer Energietabelle eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit \(v\), mit der Körper 2 auf den Boden trifft.
Berechne die Geschwindigkeit \(v\) für die angegebenen Werte.
a)Zuerst berechnen wir die Reibungsarbeit \({W_{{\rm{Reib}}}}\):\[{W_{{\rm{Reib}}}} = {F_{{\rm{GR}}}} \cdot s = {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}} \cdot s = {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1} \cdot g \cdot s\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{W_{{\rm{Reib}}}} = 0{,}20 \cdot 12\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 2{,}0\,{\rm{m}} = 48\,{\rm{J}}\]Nun stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 in einer Energietabelle dar. Die potentielle Energie von Körper 2 beziehen wir auf den Boden, die von Körper 1 auf seine Unterlage.
Der Energieerhaltungssatz sagt nun, dass die Gesamtenergie in Situation 1 genau so groß ist wie die Gesamtenergie in Situation 2. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}960\,{\rm{J}} &=& \frac{1}{2} \cdot 12\,{\rm{kg}} \cdot {v^2} + \frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot {v^2} + 48\,{\rm{J}}\\912\,{\rm{J}} &=& 30\,{\rm{kg}} \cdot {v^2}\\v &=& 5{,}5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{eqnarray}\]
b)Zuerst geben wir einen Term für die Reibungsarbeit \({W_{{\rm{Reib}}}}\) an:\[{W_{{\rm{Reib}}}} = {F_{{\rm{GR}}}} \cdot s = {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}} \cdot s = {\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1} \cdot g \cdot s\]Nun stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 wieder in einer Energietabelle dar, nutzen aber nur Variablen. Die potentielle Energie von Körper 2 beziehen wir auf den Boden, die von Körper 1 auf seine Unterlage.
1
2
Körper 1
\(v\)
\(0\)
\(v\)
\(E_{\rm{kin}}\)
\(0\)
\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v^2}\)
Körper 2
\(h\)
\(s\)
\(0\)
\(E_{\rm{pot}}\)
\(m_2 \cdot g \cdot s\)
\(0\)
\(v\)
\(0\)
\(v\)
\(E_{\rm{kin}}\)
\(0\)
\(\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v^2}\)
Umwelt
\({W_{{\rm{Reib}}}}\)
\(0\)
\({\mu _{{\rm{GR}}}} \cdot {m_1} \cdot g \cdot s\)
