In Abb. 1 siehst du einen Körper der Masse \(m\), der aus einer Höhe \(s\) losgelassen werden soll und dann frei (d.h. ohne Luftwiderstand) zu Boden fällt. Es sei \(m=48\,\rm{kg}\) und \(s=2{,}0\,\rm{m}\). Rechne mit \({g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\).
a)
Berechne mit Hilfe einer Energietabelle die Geschwindigkeit \(v\), mit der der Körper auf den Boden trifft.
b)
Schwieriger: Entwickle mit Hilfe einer Energietabelle eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit \(v\), mit der der Körper auf den Boden trifft.
Berechne die Geschwindigkeit \(v\) für die angegebenen Werte.
Wir stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 in einer Energietabelle dar. Die potentielle Energie beziehen wir auf den Boden.
Tab. 1 Energiebilanz
1
2
\(h\)
\(2{,}0\,\rm{m}\)
\(0\)
\(E_{\rm{pot}} \)
\(960\,\rm{J}\)
\(0\)
\(v\)
\(0\)
\(v\)
\(E_{\rm{kin}}\)
\(0\)
\(\frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot v^2\)
\(E_{\rm{ges}}\)
\(960\,\rm{J}\)
\(\frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot v^2\)
Der Energieerhaltungssatz sagt nun, dass die Gesamtenergie in Situation 1 genau so groß ist wie die Gesamtenergie in Situation 2. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}960\,{\rm{J}} &=& \frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot {v^2}\\960\,{\rm{J}} &=& 24\,{\rm{kg}} \cdot {v^2}\\v &=& 6{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{eqnarray}\]
b)
Wir stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 wieder in einer Energietabelle dar, nutzen aber nur Variablen. Die potentielle Energie beziehen wir auf den Boden.
Tab. 2 Energiebilanz
1
2
\(h\)
\(s\)
\(0\)
\(E_{\rm{pot}} \)
\(m \cdot g \cdot s\)
\(0\)
\(v\)
\(0\)
\(v\)
\(E_{\rm{kin}}\)
\(0\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)
\(E_{\rm{ges}}\)
\(m \cdot g \cdot s\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)
Der Energieerhaltungssatz sagt nun, dass die Gesamtenergie in Situation 1 genau so groß ist wie die Gesamtenergie in Situation 2. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}m \cdot g \cdot s &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\\g \cdot s &=& \frac{1}{2} \cdot {v^2}\\2 \cdot g \cdot s &=& {v^2}\\\sqrt {2 \cdot g \cdot s} &=& v\end{eqnarray}\]An diesem Ergebnis können wir sehen, dass die Masse \(m\) des Körpers keinen Enfluss auf die Geschwindigkeit \(v\) hat. Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {2 \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2{,}0\,{\rm{s}}} = 6{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
