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Aufgabe

Energieerhaltung beim freien Fall

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

In Abb. 1 siehst du einen Körper der Masse \(m\), der aus einer Höhe \(s\) losgelassen werden soll und dann frei (d.h. ohne Luftwiderstand) zu Boden fällt. Es sei \(m=48\,\rm{kg}\) und \(s=2{,}0\,\rm{m}\). Rechne mit \({g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\).

a)Berechne mit Hilfe einer Energietabelle die Geschwindigkeit \(v\), mit der der Körper auf den Boden trifft.

b)Schwieriger: Entwickle mit Hilfe einer Energietabelle eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit \(v\), mit der der Körper auf den Boden trifft.

Berechne die Geschwindigkeit \(v\) für die angegebenen Werte.

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Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Lösung

a)Wir stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 in einer Energietabelle dar. Die potentielle Energie beziehen wir auf den Boden.

  1 2
\(h\) \(2{,}0\,\rm{m}\) \(0\)
\(E_{\rm{pot}} \) \(960\,\rm{J}\) \(0\)
\(v\) \(0\) \(v\)
\(E_{\rm{kin}}\) \(0\) \(\frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot v^2\)
\(E_{\rm{ges}}\) \(960\,\rm{J}\) \(\frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot v^2\)

Der Energieerhaltungssatz sagt nun, dass die Gesamtenergie in Situation 1 genau so groß ist wie die Gesamtenergie in Situation 2. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}960\,{\rm{J}} = \frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot {v^2}\\960\,{\rm{J}} = 24\,{\rm{kg}} \cdot {v^2}\\v = 6{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{eqnarray}\]

b)Wir stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 wieder in einer Energietabelle dar, nutzen aber nur Variablen. Die potentielle Energie beziehen wir auf den Boden.

  1 2
\(h\) \(s\) \(0\)
\(E_{\rm{pot}}\) \(m \cdot g \cdot s\) \(0\)
\(v\) \(0\) \(v\)
\(E_{\rm{kin}}\) \(0\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)
\(E_{\rm{ges}}\) \(m \cdot g \cdot s\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)

Der Energieerhaltungssatz sagt nun, dass die Gesamtenergie in Situation 1 genau so groß ist wie die Gesamtenergie in Situation 2. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}m \cdot g \cdot s &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\\g \cdot s &=& \frac{1}{2} \cdot {v^2}\\2 \cdot g \cdot s &=& {v^2}\\\sqrt {2 \cdot g \cdot s} &=& v\end{eqnarray}\]An diesem Ergebnis können wir sehen, dass die Masse \(m\) des Körpers keinen Enfluss auf die Geschwindigkeit \(v\) hat. Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {2 \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2{,}0\,{\rm{s}}} = 6{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung