Ein LKW der Masse \(26\,\rm{t}\) fährt eine Passstraße mit der Steigung 10% bergauf. Nach einer Fahrstrecke von \(22\,\rm{km}\) hat der die Passhöhe erreicht.
a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe
Ermittle zeichnerisch (näherungsweise) den Höhenunterschied, den der LKW bei dieser Fahrt zurücklegt.
b)
Berechne die Kraft, mit welcher der LKW bei dieser Bergfahrt durch den Motor nach oben gezogen wird (falls keine Reibung vorhanden wäre)
c)
Berechne die Arbeit, die der Motor verrichtet, wenn die Reibungsverluste im Auto und beim Kontakt des Autos mit der Straße ca. mit \(6{,}0\,\rm{kN}\) zu veranschlagen sind.
Eine maßstabsgetreue, möglichst große Zeichnung zeigt, dass sich beim Verhältnis \(\frac{h}{b} = \frac{1}{{10}}\) die Länge \(l\) (bei unseren Genauigkeitsanforderung 2 gültige Ziffern) nicht sonderlich von der Länge \(b\) unterscheidet. Man kann also davon ausgehen, das auch \(b\) etwa \(22\rm{km}\) ist. Damit ergibt sich für \(h\)
\[h = b \cdot \frac{1}{{10}} \approx l \cdot \frac{1}{{10}} \Rightarrow {\kern 1pt} h \approx 22{\rm{km}} \cdot \frac{1}{{10}} = 2,2{\rm{km}}\]
b)
Wenn der Vorgang reibungsfrei wäre, könnte man die Goldene Regel anwenden. Nach dieser müsste gelten
\[{F_{{\rm{Mot}}}} \cdot l = {F_g} \cdot h = m \cdot g \cdot h{\rm{ }} \Leftrightarrow {F_{{\rm{Mot}}}} = m \cdot g \cdot \frac{h}{l} \Rightarrow {F_{{\rm{Mot}}}} = 26 \cdot {10^3}\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{1}{{10}} = 26\,{\rm{kN}}\]
c)
Wird die Reibung mit berücksichtigt, so muss der Motor nach den Angaben die Kraft \({{F'}_{{\rm{Mot}}}} = 26\,{\rm{kN}} + 6\,{\rm{kN}} = 32\,{\rm{kN}}\) aufbringen. Für die vom Motor zu verrichtende Arbeit gilt dann
\[{W_{{\rm{Mot}}}} = {{F'}_{{\rm{Mot}}}} \cdot l \Rightarrow {\kern 1pt} {W_{{\rm{Mot}}}} = 32 \cdot {10^3}\,{\rm{N}} \cdot 22 \cdot {10^3}\,{\rm{m}} = 7{,}0 \cdot {10^8}\,{\rm{J}}\]
