Hinweis: Aufgabe und Lösung stammen von Gerald Hell, Grafenau.
Abb. 1
Freier Fall eines Balles entlang einer auf halber Anfangshöhe angebrachten Markierung
Eine Kugel der Masse \(1{,}0\,{\rm{kg}}\) startet aus einer Höhe von \(5{,}0\,{\rm{m}}\) über dem Boden.
a)
Berechne die Geschwindigkeit der Kugel kurz vor dem Aufprall am Boden. [Kontrollergebnis: \(10\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)]
b)
Berechne die Geschwindigkeit der Kugel nach dem Durchfallen der halben Höhe. [Kontrollergebnis: \(7{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)]
c)
Berechne, in welcher Höhe die Kugel die halbe Geschwindigkeit von der in Teilaufgabe a) berechneten Geschwindigkeit hat. [Kontrollergebnis: \(3{,}75\,{\rm{m}}\)]
Das folgende Diagramm stellt den Zusammenhang zwischen der maximalen Fallhöhe und der maximal erreichbaren Endgeschwindigkeit dar.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Diagramm
d)
Erläutere, warum halbe Höhe nicht auch halbe Geschwindigkeit bedeutet.
e)
Bestimme zu allen Vielfachen der Geschwindigkeit \(6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) die zugehörige Fallhöhe und fülle so die folgende Tabelle aus.
Geschwindigkeit in \(\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
\(6\)
\(12\)
\(18\)
\(24\)
Fallhöhe in \({\rm{m}}\)
f)
Interpretiere die ausgefüllte Tabelle aus Teilaufgabe e).
Es sei \(h = 5,0{\rm{m}}\) und \({v}\) die gesuchte Geschwindigkeit. Dann gilt\[{E_{{\rm{ges,Unten}}}} = {E_{{\rm{ges,Oben}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {2 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5,0{\rm{m}}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
b)
Es sei \(h = 5,0{\rm{m}}\), \(h' = 2,5{\rm{m}}\) und \({v'}\) die gesuchte Geschwindigkeit. Dann gilt\[{E_{{\rm{ges,Mitte}}}} = {E_{{\rm{ges,Oben}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot h' + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{v'}^2} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow v' = \sqrt {2 \cdot g \cdot \left( {h - h'} \right)} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v' = \sqrt {2 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {5,0{\rm{m}} - 2,5{\rm{m}}} \right)} = 7,1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Es sei \({E^*}_{\rm{ges}}\) die Energie der Kugel, bei der diese die Geschwindigkeit \({\frac{v}{2}}\) besitzt; \({h^*}\) ist die zu berechnende Höhe:\[{E^*}_{\rm{ges}} = {E_{{\rm{ges,Unten}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot {h^*} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\frac{v}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow {h^*} = \frac{{3 \cdot {v^2}}}{{8 \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{h^*} = \frac{{3 \cdot {{\left( {10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 3{,}75{\rm{m}}\]
d)
Bei der halben Höhe ist die Hälfte der Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt worden. Bei halber Geschwindigkeit ist die Bewegungsenergie nur ein Viertel der gesamten Energie, die halbe Geschwindigkeit wird also bereits in der ersten Hälfte des Falls (genauer bei \(\frac{1}{4}\) der Fallhöhe) erreicht.
e)
Die Tabelle ergibt sich zu
Geschwindigkeit in \(\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
\(6\)
\(12\)
\(18\)
\(24\)
Fallhöhe in \({\rm{m}}\)
\(1{,}8\)
\(7{,}2\)
\(16{,}2\)
\(28{,}8\)
f)
Der 2-, 3-, 4-fachen Endgeschwindigkeit entspricht die 4-, 9- bzw. 16-fache Fallhöhe.
