Du bist in New York im Urlaub und besichtigst das One World Trade Center. Auf dem Rücken hast du natürlich deinen Rucksack mit Verpflegung, Fotoausrüstung usw., der insgesamt die Masse \(5{,}0\,\rm{kg}\) besitzt.
Zunächst fährst du mit dem Aufzug vom Erdgeschoss, wo dein Rucksack keine potentielle Energie besitzt, in den 27. Stock, der sich in \(100\,\rm{m}\) Höhe (über dem Erdgeschoss) befindet.
Hinweis: Als Ortsfaktor kannst du mit \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) rechnen.
a)
Berechne, wie sich die potentielle Energie des Rucksacks durch die Aufzugfahrt verändert hat.
b)
Erläutere, in welche Höhe bzw. in welches Stockwerk du mit dem Aufzug fahren müsstest, damit die potentielle Energie des Rucksacks dreimal so groß ist wie nach der Fahrt in den 27. Stock.
c)
Anschließend fährst du weiter auf die Aussichtsplattform. Hier hat dein Rucksack eine potentielle Energie von \(19000\,\rm{J}\).
Berechne, in welcher Höhe über dem Erdgeschoss sich die Aussichtsplattform etwa befindet.
d)
Auf der Aussichtsplattform liest du, dass auf dem Mond der Ortsfaktor nur \(1{,}6\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) beträgt.
Erläutere, ob sich die potentielle Energie deines Rucksackes bei der gleichen Aufzugfahrt auf dem Mond stärker oder weniger stark verändern würde als auf der Erde.
geg.: \(m=5{,}0\,\rm{kg}\), \(\Delta h=100\,\rm{m}\) und \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\)
ges.: \(\Delta E_{\rm{pot}}\)
Für die potentielle Energie bzw. die Änderung der potentiellen Energie gilt allgemein \[\Delta E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot \Delta h\]Einsetzen der gegebenen Größen führt zu\[\Delta E_{\rm{pot}} = 5{,}0\,\rm{kg} \cdot 10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} \cdot 100\,\rm{m}=5000\,\rm{J}\]Die potentielle Energie des Rucksacks hat bei der Aufzugfahrt um \(5000\,\rm{J}\) zugenommen.
b)
Da die potentielle Energie des Rucksacks dreimal so groß sein soll, musst du den Rucksack auf eine dreimal so große Höhe bringen. Du musst also auf \(300\,\rm{m}\) Höhe fahren, was etwa dem 81. Stock entspricht.
c)
geg.: \(m=5{,}0\,\rm{kg}\), \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) und \(\Delta E_{\rm{pot}}=19000\,\rm{J}\)
ges.: \(\Delta h\)
Allgemein gilt\[\Delta E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot \Delta h\]Nach der gesuchten Größe \(\Delta h\) aufgelöst ergibt sich\[\Delta h= \frac{E_{\rm{pot}}}{m \cdot g}\]Einsetzen liefert\[\Delta h= \frac{19000\,\rm{J}}{5{,}0\,\rm{kg} \cdot 10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}}=380\,\rm{m}\]Die Aussichtsplattform des Wolkenkratzers befindet sich in etwa \(380\,\rm{m}\) Höhe über dem Erdgeschoss.
d)
Da bei der Berechnung der Änderung der potentiellen Energie mittels \(\Delta E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot \Delta h\) mit dem Ortsfaktor multipliziert wird, sorgt ein kleinerer Ortsfaktor wie auf dem Mond bei ansonsten gleichen Größen für ein kleineres Ergebnis. Die potentielle Energie würde sich also bei der gleichen Aufzugfahrt auf Mond und Erde, auf dem Mond weniger stark verändern als auf der Erde.
