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Aufgabe

Lastenesel

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein \({300\,{\rm{kg}}}\) schwerer Lastenesel zieht einen \({100\,{\rm{kg}}}\) schweren Karren, der mit \({800\,{\rm{kg}}}\) beladen ist, eine \(5\,\rm{km}\) lange Bergstraße vom \(400\,\rm{m}\) hohen Talort zum \(500\,\rm{m}\) hohen Bergort.

Berechne die Hubarbeit, die der Esel dabei verrichtet.

Berechne, welchen Wirkungsgrad der Esel hat, wenn die Reibungskraft genau so groß wie die Hangabtriebskraft ist.

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Für die Hubarbeit gilt
\[{W_{{\rm{Hub}}}} = {m_{{\rm{Last + Esel + Karren}}}} \cdot g \cdot h \Rightarrow {W_{{\rm{Hub}}}} = \left( {800\,{\rm{kg}} + 300\,{\rm{kg}} + 100\,{\rm{kg}}} \right) \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 100\,{\rm{m}} = 1200000\,{\rm{J}} = 1200\,{\rm{kJ}} = 1{,}2\,{\rm{MJ}}\]
Die vom Esel aufgewendete Arbeit ist wegen der Reibung doppelt so groß wie die Hubarbeit, also
\[{W_{{\rm{Esel}}}} = {\rm{2}} \cdot {W_{{\rm{Hub}}}} = 2 \cdot 1{,}2\,{\rm{MJ}} = 2{,}4\,{\rm{MJ}}\]
Die Nutzenergie ist
\[{E_{{\rm{Nutz}}}} = {m_{{\rm{Last}}}} \cdot g \cdot h \Rightarrow {E_{{\rm{Nutz}}}} = 800\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 100\,\rm{m} = 800000\,{\rm{J}} = 800\,{\rm{kJ}} = 0{,}8\,{\rm{MJ}}\]
Damit ist der Wirkungsgrad
\[\eta  = \frac{{{E_{{\rm{Nutz}}}}}}{{{W_{{\rm{Esel}}}}}} = \frac{{0{,}8\,{\rm{MJ}}}}{{2{,}4\,{\rm{MJ}}}} = 0{,}33 = 33\% \]