Arbeit, Energie und Leistung

Aufgabe

Potentielle Energie - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zur potentiellen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot {h}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{E_{\rm{pot}}}} = {m} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \({\color{Red}{E_{\rm{pot}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {\color{Red}{m}} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \({\color{Red}{m}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\color{Red}{m}} \cdot {g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {\color{Red}{m}} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[{\color{Red}{m}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{m}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {\color{Red}{g}} \cdot {h}\]nach \({\color{Red}{g}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot {\color{Red}{g}} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {m} \cdot {\color{Red}{g}} \cdot {h}}}{ {m} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\).\[{\color{Red}{g}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{g}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot {\color{Red}{h}}\]nach \({\color{Red}{h}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot {g} \cdot {\color{Red}{h}} = {E_{\rm{pot}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {m} \cdot {g} \cdot {\color{Red}{h}}}{ {m} \cdot {g}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\).\[{\color{Red}{h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{h}}\) aufgelöst.

Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die potentielle Energie nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Rechne bei den folgenden Aufgaben mit \(g_{\rm{Erde}}=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\).

Ein Koffer der Masse \(28\,\rm{kg}\) wurde vom Hauseingang in eine \(12\,\rm{m}\) höher gelegene Wohnung getragen.

Berechne die potentielle Energie des Koffers bezüglich des Erdbodens.

Eine Betonplatte, die sich in einer Höhe von \(9{,}0\,\rm{m}\) über dem Erdboden befindet, besitzt bezüglich des Erdbodens eine potentielle Energie von \(270\,\rm{J}\).

Berechne die Masse der Betonplatte.

Ein Astronaut auf dem Mond stellt fest, dass ein Hammer der Masse \(500\,\rm{g}\), den er in \(1{,}5\,\rm{m}\) Höhe oberhalb der Mondoberfläche festhält, eine potentielle Energie von \(1{,}2\,\rm{J}\) besitzt.

Berechne den Ortsfaktor auf dem Mond.

Eine Feuerwerksrakete der Masse \(120\,\rm{g}\) besitzt am höchsten Punkt ihrer Flugbahn gegenüber dem Erdboden eine potentielle Energie von \(180\,\rm{J}\).

Berechne die Höhe, auf die die Feuerwerksrakete steigt.

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Vorlesen

Mit \(m = 28\,\rm{kg}\), \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) und \(h = 12\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für die potentielle Energie\[E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[E_{\rm{pot}} = 28\,\rm{kg} \cdot 10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} \cdot 12\,\rm{m} = 3400\,\rm{J}\]

Mit \(E_{\rm{pot}} = 270\,\rm{J}\), \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) und \(h = 9{,}0\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel für die potentielle Energie\[E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow m=\frac{E_{\rm{pot}}}{g \cdot h}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[m = \frac{270\,\rm{J}}{10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} \cdot 9{,}0\,\rm{m}} = 3{,}0\,\rm{kg}\]

Mit \(E_{\rm{pot}} = 1{,}2\,\rm{J}\), \(m=500\,\rm{g}=0{,}500\,\rm{kg}\) und \(h = 1{,}5\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel für die potentielle Energie\[E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow g=\frac{E_{\rm{pot}}}{m \cdot h}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[g = \frac{1{,}2\,\rm{J}}{0{,}500\,\rm{kg} \cdot 1{,}5\,\rm{m}} = 1{,}6\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\]

Mit \(E_{\rm{pot}} = 180\,\rm{J}\), \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) und \(m=120\,\rm{g}=0{,}120\,\rm{kg}\) erhalten wir mit der Formel für die potentielle Energie\[E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow h=\frac{E_{\rm{pot}}}{m \cdot g}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[h = \frac{180\,\rm{J}}{0{,}120\,\rm{kg} \cdot 10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}} = 150\,\rm{m}\]

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