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Aufgabe

Bremskraft im Sommer und Winter

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In einer Autozeitschrift findet sich das nebenstehende Bild über den Vergleich der Bremswirkung von Sommer- unter Winterreifen bei Temperaturen unter \(7{\rm{^\circ C}}\) und nasser Fahrbahn für ein Fahrzeug der Masse \(1{,}20\,{\rm{t}}\).

a)Berechne die Bremskraft des mit Sommerreifen ausgestatteten Autos.

b)Berechne, um wie viel Prozent sich die Bremskraft erhöht, wenn man das Fahrzeug mit Winterreifen ausstattet, und begründe die Antwort.

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a)Führt die Bremsung zum Stillstand, so wird die gesamte anfänglich vorhandene kinetische Energie \( E_{kin,0} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \) vollständig in innere Energie umgesetzt. Die dabei verrichtete Reibarbeit ist \(W_{R} = F_{B} \cdot s_{B} \).

Berechnung der Bremskraft:
\[{\Delta {W_R} = {E_{kin,0}} \Leftrightarrow {F_B} \cdot {s_B} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \Leftrightarrow {F_B} = \frac{{m \cdot v_0^2}}{{2 \cdot {s_B}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{F_B} = \frac{{1200\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {25\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 59{,}2\,{\rm{m}}}} = 6300\,{\rm{N}}}\]

b)Wenn der Bremsweg um ca. \(10\% \) abnimmt, so muss - da beide Größen in den obigen Formeln linear vorkommen - die Bremskraft um ca. \(10\% \) zugenommen haben. Man kann dies auch - eher mathematisch durch die folgende Überlegung zeigen:

Die kinetische Energie ist unabhängig von der Verwendung von Sommer- bzw. Winterreifen gleich. Dies bedeutet, dass gelten muss:
\[{{F_{B,W}} \cdot {s_{B,W}} = {F_{B,S}} \cdot {s_{B,S}} \Leftrightarrow {F_{B,W}} = {F_{B,S}} \cdot \frac{{{s_{B,S}}}}{{{s_{B,W}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{F_{B,W}} = {F_{B,S}} \cdot \frac{{59,2{\rm{m}}}}{{53,8{\rm{m}}}} = {F_{B,S}} \cdot 1,10 = {F_{B,S}} \cdot 110\% }\]
d.h. die Bremskraft mit Winterreifen ist um ca. \(10\% \) größer als die mit Sommerreifen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung