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Aufgabe

Springfrosch

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Hinweis: Aufgabe und Lösung stammen von Gerald Hell, Grafenau.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Ein Spielzeugfrosch mit der Masse \(20{,}0\,\rm{g}\) wird mit einem Saugnapf unter Spannen einer Feder an einer Tischkante befestigt. Nach kurzer Zeit springt er in die Höhe, weil der Saugnapf nicht mehr hält. Seine Flugbahn ist etwas seitlich, so dass er beim Herabfallen die Tischkante verfehlt und bis zum Boden fällt.

Die Feder mit der Federkonstante \({5{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}}\) wird vor dem Start um \(3{,}00\,\rm{cm}\) eingedrückt.

a)

Beschreibe allgemein die auftretenden Energieumwandlungen.

b)

Berechne die Spannenergie der eingedrückten Feder.

c)

Berechne die Geschwindigkeit des Froschs in der Situation 2 (Beginn des Abhebens).

Hinweis: Zur Vereinfachung soll vernachlässigt werden, dass der Frosch in Situation 2 eine im Gegensatz zu Situation 1 geringfügig größere potenzielle Energie besitzt.

d)

Berechne die maximale Höhe, die der Frosch über dem Tisch erreicht (Situation 3).

e)

Die Tischkante ist \(0{,}850\,\rm{m}\) über dem Fußboden.

Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Frosch am Fußboden ankommt (Situation 4).

f)

Vergleiche die Ergebnisse der Aufagbenteile c) und e). Erläutere, woher die zusätzliche Energie kommt.

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a)

Es ergeben sich folgende Energieumwandlungen:

1 → 2: Umwandlung von Spannenergie in Bewegungsenergie

2 → 3: Umwandlung von Bewegungsenergie in Lageenergie

3 → 4: Umwandlung von Lageenergie in Bewegungsenergie

b)

Es gilt \(D = 5{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}} = 500\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{M}}}\). Weiter gilt\[{E_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s^2} \Rightarrow {E_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2} \cdot 500\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {\left( {0{,}0300\,{\rm{m}}} \right)^2} = 0{,}225\,{\rm{J}}\]

c)

Mit dem Ansatz der Energie-Erhaltung zwischen 1 und 2 folgt\[{{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{Spann}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = {E_{{\rm{Spann}}}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{Spann}}}}}}{m}}  \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 0{,}225\,{\rm{J}}}}{{0{,}0200\,{\rm{kg}}}}}  = 4{,}74\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]

d)

Mit dem Ansatz der Energie-Erhaltung zwischen 1 und 3 folgt\[{{E_{{\rm{pot}}}} = {E_{{\rm{Spann}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot h = {E_{{\rm{Spann}}}} \Leftrightarrow h = \frac{{{E_{{\rm{Spann}}}}}}{{m \cdot g}} \Rightarrow h = \frac{{0{,}225\,{\rm{J}}}}{{0{,}0200\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 1{,}15\,{\rm{m}}}\]

e)

Der Frosch durchfällt die Gesamthöhe \({h' = 2{,}00\,{\rm{m}}}\). Mit dem Ansatz der Energie-Erhaltung folgt\[{{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot g \cdot h}  \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 2{,}00\,{\rm{m}}}  = 6{,}26\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]

f)

In der Vorbereitung dieses Experiments musste der Frosch erst einmal auf die Höhe der Tischkante gehoben werden. Die Energie stammt also von außen, sie wurde in Form von Hubarbeit auf den Frosch übertragen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung