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Versuche

Experimentelle Herleitung der Formel für die kinetische Energie (Simulation)

Das Ziel der Simulation

  • Die Simulation ermöglicht es dir, durch die Auswertung eines "Experimentes" die Formel für die kinetische Energie herzuleiten.
Aufbau

In der Simulation in Abb. 1 siehst du einen Körper (violett) der Masse \(m\), der sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt. Es liegt also Energie in Form von kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\) vor.

Masse m
Geschwindigkeit v
Eindringtiefe e
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Abb. 1 Experiment zur Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) von der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\)

Wenn du die Simulation startest, bewegt sich der Körper nach rechts und trifft dort auf einen Nagel (blau), der in einem Schaumstoffblock (gelb) steckt. Durch den Aufprall des Körpers dringt der Nagel tiefer in den Schaumstoffblock ein. Die Simulation zeigt den Wert der zusätzlichen Eindringtiefe \(e\) an. Die Simulation geht von der plausiblen Voraussetzung aus, dass die Eindringtiefe \(e\) des Nagels in den Schaumstoff ein Maß für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) zu Beginn ist.

Mit den Schiebereglern am linken Rand der Simulation kannst du die Werte für die die Masse \(m\) und die Geschwindigkeit \(v\) in gewissen Grenzen verändern.

Wir wollen nun durch die systematische Untersuchung der Abhängigkeit der Eindringtiefe \(e\) (und damit der kinetischen Energie) von der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) eine Formel für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) herleiten.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) von der Masse \(m\)

Durchführung

Stelle den Wert für die Geschwindigkeit \(v\) auf einen beliebigen Wert ein und halte diesen Wert während des gesamten 1. Teilversuchs fest.

Verändere schrittweise die Werte für die Masse \(m\).

Beobachte den Wert für die Eindringtiefe \(e\).

Beobachtung
Aufgabe

Notiere den Wert für die Geschwindigkeit \(v\).

Fülle die folgende Tabelle aus.

Tab. 1a
\(m\;\rm{in}\;\rm{kg}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\) \(0{,}35\) \(0{,}40\) \(0{,}45\) \(0{,}50\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\)

Lösung

Mit \(v=2{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) erhalten wir die folgenden Messwerte:

Tab. 1b
\(m\;\rm{in}\;\rm{kg}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\) \(0{,}35\) \(0{,}40\) \(0{,}45\) \(0{,}50\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\) \(30\) \(35\) \(40\) \(45\) \(50\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte aus Tab. 1b in einem \(m\)-\(e\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus, d.h. bestimme die Gleichung der Funktion, die den Zusammenhang zwischen \(m\) und \(e\) bei konstantem \(v\) beschreibt.

 

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 \(m\)-\(e\)-Diagramm zur Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) von der Masse \(m\)

Das \(m\)-\(e\)-Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass die Messwerte am besten durch eine Ursprungsgerade angenähert werden können. Das bedeutet, dass bei konstanter Geschwindigkeit \(v\) die Eindringtiefe \(e\) und damit die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) proportional zur Masse \(m\) des Körpers ist:\[{E_{{\rm{kin}}}} \sim m\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[e=100\,\frac{\rm{mm}}{\rm{kg}} \cdot m\]

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) von der Geschwindigkeit \(v\)

Durchführung

Stelle den Wert für die Masse \(m\) auf einen beliebigen Wert ein und halte diesen Wert während des gesamten 2. Teilversuchs fest.

Verändere schrittweise die Werte für die Geschwindigkeit \(v\).

Beobachte den Wert für die Eindringtiefe \(e\).

Beobachtung
Aufgabe

Notiere den Wert für die Masse \(m\).

Fülle die folgende Tabelle aus.

Tab. 2a
\(v\;\rm{in}\;\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\) \(1{,}60\) \(1{,}80\) \(2{,}00\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\)

Lösung

Mit \(m=0{,}50\,\rm{kg}\) erhalten wir die folgenden Messwerte:

Tab. 2b
\(v\;\rm{in}\;\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\) \(1{,}60\) \(1{,}80\) \(2{,}00\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(2\) \(5\) \(8\) \(13\) \(18\) \(24\) \(32\) \(41\) \(50\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte aus Tab. 2b in einem \(v\)-\(e\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus, d.h. bestimme die Gleichung der Funktion, die den Zusammenhang zwischen \(v\) und \(e\) bei konstantem \(m\) beschreibt.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 \(v\)-\(e\)-Diagramm zur Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) von der Geschwindigkeit \(v\)

Das \(v\)-\(e\)-Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass die Messwerte nicht durch eine Ursprungsgerade angenähert werden können - sie liegen eher auf einer Parabel. Dies legt die Vermutung nahe, dass die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) proportional zum Quadrat \(v^2\) der Geschwindigkeit ist.

 

 
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 \(v^2\)-\(e\)-Diagramm zur Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) von der Geschwindigkeit \(v\)

Um diese Vermutung zu bestätigen tragen wir die Messwerte in einem \(v^2\)-\(e\)-Diagramm auf. Das Diagramm in Abb. 4 zeigt, dass die Punkte nun durch eine Ursprungsgerade angenähert werden können. Das bedeutet, dass bei konstanter Masse \(m\) die Eindringtiefe \(e\) und damit die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) proportional zum Quadrat \(v^2\) der Geschwindigkeit ist:\[{E_{{\rm{kin}}}} \sim v^2\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[e=12{,}5\,\frac{\rm{mm}\,\rm{s}^2}{\rm{m}^2} \cdot v^2\]was gleichzeitig die gesuchte Funktionsgleichung ist.

Zusammenfassung der Ergebnisse der zwei Teilversuche

  • Aus dem ersten Teilversuch ergibt sich \(E_{\rm{kin}} \sim m\) bei konstantem \(v\).
  • Aus dem zweiten Teilversuch ergibt sich \(E_{\rm{kin}} \sim v^2\) bei konstantem \(m\).

Zusammengefasst ergibt sich\[E_{\rm{kin}} \sim m \cdot v^2\]bzw.\[E_{\rm{kin}} = {\rm{const.}} \cdot m \cdot v^2\]Durch die Definition der Maßeinheit \(\rm{J}\) für die Energie ergibt sich für den Proportionalitätsfaktor \(\rm{const.}=\frac{1}{2}\) und damit das zusammenfassende Versuchsergebnis\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]