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Aufgabe

Vergleich verschiedener Autotypen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Auto mit größerer Masse braucht einen stärkeren Motor und bessere Bremssysteme, um dieselben Fahreigenschaften wie ein leichtes zu erzielen. Du sollst im folgenden einen mit 2 Personen besetzten Mittelklassewagen der Gesamtmasse m1 = 1400 kg und einen SUV mit der doppelten Masse m2 = 2800kg vergleichen. Benutze dazu auch das Diagramm Masse und Reisegeschwindigkeit der TUM. Dort sind an den Ordinaten die Masse bzw. der spezifische Nutzenergiebedarf in Wattstunden pro km angegeben.

Für den Wirkungsgrad der Energiewandlungskette vom Treibstoff bis zur Nutzenergie wird 20% angesetzt.

Zur Erinnerung: 10 kWh Primärenergiebedarf entsprechen etwa einem Liter Diesel.

g ≈ 10 m/s2 = 10 N/kg

a)Wie viel Liter Diesel verbrauchen die beiden Fahrzeuge nach dem Diagramm, wenn sie sich gleichmäßig mit einer mittleren Reisegeschwindigkeit von ca. 70 km/h bewegen?

Die Aussage des Diagramms ist vergröbert und gilt eigentlich nur, solange die Reibungskraft die entscheidende Kraft ist. Du sollst den Verbrauch mit deinen Physikkenntnissen genauer analysieren.

b)Welche Kräfte wirken an einem Auto, das mit konstanter Kraft auf ebener Straße vorwärts fährt?

Zeichne die Kraftpfeile ein.

c)Wie ändern sich die einzelnen Kräfte, wenn man schneller fährt oder wenn man mit einem schwereren Auto unterwegs ist?

d)Berechne die Rollreibungskraft und die Luftwiderstandskraft für die beiden Pkw mit m1 = 1400 kg und m2 = 2800 kg, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v = 70 km/h bewegen. Für eine erste Abschätzung kannst du für beide Fahrzeuge vereinfacht die Luftwiderstandsfläche A= 2,0 m2 ansetzen und für c= 0,40. Hinweis: Bei einem SUV sind beide Werte natürlich etwas größer. Für die Rollreibungszahl μroll kann ein Wert von 0,020 angenommen werden.

e)Berechne mit den Ergebnissen der Teilaufgabe d) den Nutzenergiebedarf pro Kilometer.

Prüfe, ob die so errechneten Werte von der Größenordnung her mit denen vom obigen Diagramm übereinstimmen.

f)Wie wirkt sich die Masse beim Beschleunigen aus?

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a)Man erhält den Primärenergiebedarf, in dem man den Nutzenergiebedarf durch den Wirkungsgrad dividiert:\[\eta  = \frac{{{E_{nutz}}}}{{{E_{prim}}}} \Rightarrow {E_{prim}} = \frac{{{E_{nutz}}}}{\eta }\]Für das Mittelklasseauto entnimmt man dem Diagramm bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h einen spezifischen Nutzenergiebedarf von ca. 140Wh/km, für das SUV von ca. 280Wh/km. Bei einem Wirkungsgrad von 20% ergibt sich dann für den spezifischen Primärenergiebedarf:\[{E_{prim,1}} = \frac{{140}}{{0,20}}\frac{{Wh}}{{km}} = 0,70\frac{{kWh}}{{km}}\quad bzw.\quad {E_{prim,2}} = \frac{{280}}{{0,20}}\frac{{Wh}}{{km}} = 1,4\frac{{kWh}}{{km}}\]Für 100 km ist der Primärenergiebedarf dann hundert mal so hoch, also\[E{*_{prim,1}} = 70kWh\quad bzw.\quad E{*_{prim,2}} = 140kWh\]Wenn ein Liter Diesel einer Primärenergie von 10 kWh entspricht, so braucht das Mittelklasseauto ca. 7 Liter auf 100 km, während das SUV 14 Liter benötigt.

b)Fg: Gewichtkraft des Autos;

Fb: Kraft, welche der Boden auf das Auto ausübt

Fluft: Luftreibungskraft

Froll: Rollreibungskraft;

Finn: Innere Reibungskraft;

Fm: Motorkraft;

 

c)Für die Rollwiderstandskraft gilt\[{F_{roll}} = {\mu _{roll}} \cdot m \cdot g\]Das Auto mit der größeren Masse hat somit auch die größere Rollwiderstandskraft. Die Geschwindigkeit spielt bei dieser vereinfachten Näherungsformel keine Rolle.

Für die Luftwiderstandskraft gilt:\[{F_L} = \frac{1}{2} \cdot {c_W} \cdot A \cdot {\rho _L} \cdot {v^2}\]Die Luftwiderstandskraft wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Die Masse des Autos spielt bei der Luftwiderstandskraft kleine Rolle.

d)Berechnung der Lufwiderstandskraft für einen Pkw mit A = 2,0 m2 ; cW= 0,40 und v = 70 km/h:\[{F_L} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {c_w} \cdot {\rm A} \cdot {\rho _L} \cdot {v^2} \Rightarrow {F_L} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot 0,40 \cdot 2,0 \cdot 1,2 \cdot {\left( {\frac{{70}}{{3,6}}} \right)^2}{m^2} \cdot \frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot \frac{{{m^2}}}{{{s^2}}} \approx 1,8 \cdot {10^2}N\]Es ergibt sich eine Luftwiderstandskraft von grob 200N.

Berechnung der Rollreibungskraft (Reifen auf Asphalt) beim Mittelklassewagen:\[{F_{roll,1}} = {\mu _{roll}} \cdot {m_1} \cdot g \Rightarrow {F_{roll,1}} = 0,020 \cdot 1400 \cdot 10\,{\rm N} = 2,8 \cdot 1{0^2}N\]Es ergibt sich eine Rollreibungskraft von grob 300N.

Stark vereinfachend, gelangt man somit für den Mittelklassewagen zu einer Fahrwiderstandkraft von grob 500 N. Für das doppelt so schwere Fahrzeug ist die Reibungskraft 560 N und die Gesamtkraft etwa 800 N, wenn man eine kleine Verschlechterung beim Luftwiderstand berücksichtigt. Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Antriebskraft des Motors Fm gleich der Fahrtwiderstandskraft.

e)Berechnung der Nutzleistung beider Fahrzeuge aus der Antriebskraft (vgl. Teilaufgabe d):\[\begin{array}{l}{P_{m,1}} = {F_{m,1}} \cdot v \Rightarrow {P_{m,1}} = 500 \cdot \frac{{70}}{{3,6}}N \cdot \frac{m}{s} \approx 0,97 \cdot {10^4}W\\{\rm{entsprechend: }}{P_{m,2}} = 800 \cdot \frac{{70}}{{3,6}}N \cdot \frac{m}{s} \approx 1,6 \cdot {10^4}W\end{array}\]Aus der Nutzleistung wird die Nutzenergie pro km berechnet (spezifische Nutzenergie): Dazu benötigt man die Zeitdauer, welche das Gefährt für einen Kilometer benötigt: \[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{\Delta x}}{v} \Rightarrow \Delta t = \frac{{1,0}}{{70}}\frac{{km}}{{{\textstyle{{km} \over h}}}} \approx 1,4 \cdot {10^{ - 2}}h\]Nutzenergiebedarf für einen Kilometer:\[E{*_{nutz,1}} = {P_1} \cdot \Delta t \Rightarrow E{*_{nutz,1}} = 0,97 \cdot {10^4} \cdot 1,4 \cdot {10^{ - 2}}Wh \approx 1,4 \cdot 1{0^2}Wh\]Für das Mittelklasseauto stimmt der so errechnete recht gut mit dem Wert aus dem Diagramm der TUM überein.\[E{*_{nutz,1}} = {P_1} \cdot \Delta t \Rightarrow E{*_{nutz,1}} = 1,6 \cdot {10^4} \cdot 1,4 \cdot {10^{ - 2}}Wh \approx 2,2 \cdot 1{0^2}Wh\]Bei dem SUV ist die Übereinstimmung in der Größenordnung gegeben, jedoch ergibt sich nicht so eine gute Übereinstimmung mit dem Diagramm wie beim Mittelklassewagen.

f)Berechnung der zum Beschleunigen erforderlichen Energie:\[{E_1} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {m_1} \cdot {v^2};\;{E_2} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {m_2} \cdot {v^2} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot 2 \cdot {m_1} \cdot {v^2} \Rightarrow {E_2} = 2 \cdot {E_1}\]Zur Beschleunigung der doppelten Masse ist die doppelte Energie nötig.