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Aufgabe

Leistung eines Föhns

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von Thomas Schulze

Auf einem Föhn steht die Leistungsangabe \(1800\,\rm{W}\). Ein Eimer (Masse des leeren Eimers \(1{,}0\,\rm{kg}\)) ist mit \(10\) Litern Wasser gefüllt (\({\rho _{{\rm{Wasser}}}} = 0{,}998\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)).

a)Berechne, wie hoch ein Mensch mit der gleichen Leistung wie der Föhn den Wassereimer in \(2{,}0\) Sekunden heben könnte.

b)Berechne, wie hoch ein Mensch mit einer typischen, durchschnittlichen Leistung von \(200\,\rm{W}\) den Wassereimer in \(2{,}0\) Sekunden heben könnte.

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a)Gegeben sind \(P=1800\,\rm{W}\), \(m = 1{,}0\,{\rm{kg}} + 10\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} \cdot 0{,}998\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1{,}0\,{\rm{kg}} +10{,}0\,{\rm{kg}} = 11{,}0\,{\rm{kg}}\) und \(\Delta t = 2{,}0\,\rm{s}\).

Gesucht ist die Höhe \(\Delta h\), mit der man die Masse \(m\) in der Zeit \(\Delta t\) hochheben kann.

Wir gehen davon aus, dass die vom Föhn in der Zeit \(\Delta t\) verrichtete Arbeit \(W=P \cdot \Delta t\) vollständig in potentielle Energie \(\Delta E_{\rm{pot}}=m \cdot g \cdot \Delta h\) umgewandelt wird:\[W= \Delta E_{\rm{pot}} \Leftrightarrow P \cdot \Delta t = m \cdot g \cdot \Delta h \Leftrightarrow \Delta h = \frac{{P \cdot \Delta t}}{{m \cdot g}} \Rightarrow \Delta h = \frac{{1800\,{\rm{W}} \cdot 2{,}0\,{\rm{s}}}}{{11{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 33\,{\rm{m}}\]

b)Analog zu Teilaufgabe a) ergibt sich jetzt\[\Delta h = \frac{{200\,{\rm{W}} \cdot 2{,}0\,{\rm{s}}}}{{11{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 3{,}7\,{\rm{m}}\]