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Aufgabe

Menschliche Leistung beim Bergsteigen

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Rekord am Mt. Everest

Der 26-jährige Sherpa Pemba Dorji (Sherpas sind ein Volkstamm aus Nepal) hat im Mai 2004 den Mount Everest (\(8848\,\rm{m}\)) in nur acht Stunden und zehn Minuten vom Basiscamp (\(5300\,\rm{m}\)) erklommen.

Schätze die Hubarbeit, die der Sherpa beim Aufstieg an sich verrichtet hat und seine "Hubleistung" ab, indem du vernünftige Annahmen machst.

b)Faustregel beim Bergsteigen

Bei der Planung von Bergtouren geht man davon aus, dass der normaltrainierte Bergsteiger in der Stunde 300 Höhenmeter schafft.

Berechne die Hubleistung, die man dabei für einen Bergsteiger mit der Masse \(80\,\rm{kg}\) ansetzt.

Berechne die Hubarbeit (Angabe in \(\rm{kWh}\)), die dieser Bergsteiger verrichtet, wenn er von Garmisch (\(700\,\rm{m}\)) auf die Zugspitze (\(2962\,\rm{m}\)) steigt.

c)Treppenlauf

Von Amerika dringt nun auch zu uns das Treppenlaufen in Hochhäusern. Sehr bekannt ist der längste urbane Treppenlauf am Willis Tower in Chicago (1450 feet Höhe). Der Sieger schaffte die 103 Stockwerke (2109 Stufen) im Jahre 2004 in 13 Minuten 35 Sekunden.

Berechne die "Hubleistung" des Siegers (\(m = 65\rm{kg}\)). Finde dabei fehlende Informationen zur Lösung selbstständig heraus.

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a)Es wird angenommen, dass die Masse des Sherpas samt Ausrüstung ca. \(85\rm{kg}\) beträgt. Für den Ortsfaktor werden näherungsweise \(10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) angesetzt. \[{{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow {W_{{\rm{Hub}}}} = 85{\rm{kg}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \left( {8848{\rm{m}} - 5300{\rm{m}}} \right) = 3{,}0\,{\rm{MJ}}}\] \[{{P_{{\rm{Hub}}}} = \frac{{\Delta {W_{{\rm{Hub}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {P_{{\rm{Hub}}}} = \frac{{3,0{\rm{MJ}}}}{{8{\rm{h}} + 10{\rm{min}}}} = \frac{{3,0 \cdot {{10}^6}{\rm{J}}}}{{8 \cdot 3600{\rm{s}} + 10 \cdot 60{\rm{s}}}} = 100\,{\rm{W}}}\] Anmerkung: Hundert Watt Dauerleistung ist für einen gut trainierten Menschen erreichbar. Die sensationelle Leistung des Sherpas kann man nur richtig einschätzen, wenn man weiß, dass in diesen großen Höhen und in dem schwierigen Gelände Exeditionen mehrere Tage brauchen um - vielleicht - auf den Gipfel zu kommen.

b)Berechnung der Leistung: \[{P_{{\rm{Hub}}}} = \frac{{\Delta {W_{{\rm{Hub}}}}}}{{\Delta t}} = \frac{{m \cdot g \cdot \Delta h}}{{\Delta t}} \Rightarrow {P_{{\rm{Hub}}}} = \frac{{80\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 300\,{\rm{m}}}}{{1 \cdot 3600\,{\rm{s}}}} = 65{\rm{W}}\] Berechnung der Hubarbeit in \(\rm{J}\): \[{{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot \Delta h \Rightarrow {W_{{\rm{Hub}}}} = 80{\rm{kg}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \left( {2962\,{\rm{m}} - 700\,{\rm{m}}} \right) = 1{,}8 \cdot {{10}^6}\,{\rm{J}}}\] Umrechnung in \(\rm{kWh}\): \[{{W_{{\rm{Hub}}}} = 1{,}8 \cdot {{10}^6}\,{\rm{J}} = 1{,}8 \cdot {{10}^6}\,{\rm{W}} \cdot 1\,{\rm{s}} = 1{,}8 \cdot {{10}^3}\,{\rm{kW}} \cdot \frac{1}{{3600}}\,{\rm{h}} = 0{,}50\,{\rm{kWh}}}\]

c)Hinweis: \(1\rm{ft} = 0,3048\rm{m}\) \[{P_{{\rm{Hub}}}} = \frac{{\Delta {W_{{\rm{Hub}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {P_{{\rm{Hub}}}} = \frac{{65\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1450 \cdot 0{,}3048\,{\rm{m}}}}{{13 \cdot 60\,{\rm{s}} + 35\,{\rm{s}}}} = 350\,{\rm{W}}\] Dies ist etwa die fünffache Leistung des "Normalbergsteigers".