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Aufgabe

Unterscheidung von Arbeit und Drehmoment

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Drehen eines Schraubenschlüssels

Die physikalischen Größen Drehmoment und Arbeit sind etwas ganz Verschiedenes, obwohl man beide in der Einheit Newtonmeter \(\rm{Nm}\) angibt.

a)Erläutere den Unterschied zwischen den beiden Größen.

b)In Abb. 1 übt die Kraft ein Drehmoment aus, beim Drehen des Schraubenschlüssels wird Arbeit verreichtet.

Berechne den Betrag des Drehmomentes, das ausgeübt wird.

Berechne die Arbeit, die beim Drehen verrichtet wird.

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a)Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass das Drehmoment ein Vektor und die Arbeit ein Skalar ist.

Zur Bestimmung eines Drehmoments \({\vec M}\) benötigt man den Hebelarm \(\vec a\) und die Kraft \(\vec F\) als Vektoren. Das Drehmoment \({\vec M}\) bestimmt sich dann als Vektor- oder Kreuzprodukt der beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec F\)\[\vec M = \vec a \times \vec F\]Der Betrag \(\left| {\vec M} \right|\) ist damit\[\left| {\vec M} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec F} \right| \cdot \sin \left( {\angle \left( {\vec a;\vec F} \right)} \right)\]Somit wirken beim Drehmoment nur die Beiträge von Hebelarm und Kraft, die senkrecht aufeinander stehen.

Zur Bestimmung einer Arbeit \({W}\) benötigt man den Weg \(\vec s\) und die Kraft \(\vec F\) ebenfalls als Vektoren. Die Arbeit \({W}\) bestimmt sich dann aber als Skalarprodukt der beiden Vektoren \(\vec s\) und \(\vec F\)\[W = \vec s \cdot \vec F\]Die Arbeit \(W\) ist damit\[W = \left| {\vec s} \right| \cdot \left| {\vec F} \right| \cdot \cos \left( {\angle \left( {\vec s;\vec F} \right)} \right)\]Somit wirken bei der Arbeit nur die Beiträge von Weg und Kraft, die parallel zueinander liegen. 

b)Für den Betrag des Drehmomentes \({\vec M}\) gilt\[\left| {\vec M} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \left| {\vec a} \right| \cdot \sin \left( {90^\circ } \right) = 80\,{\rm{N}} \cdot 0{,}25\,{\rm{m}} \cdot 1 = 20\,{\rm{Nm}}\]Für die Arbeit \(W\) gilt\[W = \left| {\vec F} \right| \cdot \left| {\vec s} \right| \cdot \cos \left( {0^\circ } \right) = 80\,{\rm{N}} \cdot 0{,}09\,{\rm{m}} \cdot 1 = 7{,}2\,{\rm{Nm}} = 7{,}2\,{\rm{J}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung