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Ausblick

Theoretische Herleitung der Formel für die kinetische Energie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Um einen Körper der Masse \(m\) aus der Ruhe auf eine Geschwindigkeit \(v\) zu beschleunigen benötigt man die Arbeit \(W= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\).
  • Damit beträgt die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers nach dem Beschleunigen \(E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\).

Das Ziel dieses Artikels

Ein Körper der Masse \(m\), der sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, besitzt kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\).

Aber wie groß ist diese kinetische Energie? Oder genauer: Wie lautet die Formel, mit der wir den Wert dieser kinetischen Energie berechnen können?

Die Antwort auf diese Frage können wir experimentell gewinnen, aber auch theoretisch mit Hilfe des Begriffs der physikalischen Arbeit herleiten. Diesen zweiten Weg wollen wir dir in diesem Artikel vorstellen.

Beschleunigen des Körpers als physikalische Arbeit

Wir hatten als "arbeiten im physikalischen Sinn" die Übertragung von Energie von einem System auf ein anderes System und die "physikalische Arbeit" \(W\) als die Menge der dabei übertragenen Energie definiert.

Wir gehen nun davon aus, dass ein Körper der Masse \(m\) ruht und in diesem Zustand keine kinetische Energie besitzt. Wenn wir als System "Mensch" nun den Körper auf eine Geschwindigkeit \(v\) beschleunigen, dann übertragen wir dem Körper Energie: wir "arbeiten". Die dabei von uns geleistete Arbeit \(W\) ist dann als kinetische Energie im Körper gespeichert.

Berechnung der physikalischen Arbeit \(W\)

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 \(s\)-\(F\)-Diagramm für das Beschleunigen eines Körpers mit der Masse \(m\) auf eine Geschwindigkeit \(v\) über dem Erdboden

"Arbeiten im physikalischen Sinne" geschieht bekanntlich dadurch, über eine Strecke \(s\) eine Kraft vom Betrag \(F\) in Wegrichtung wirken zu lassen. Den Betrag der dabei geleisteten physikalischen Arbeit \(W\) können wir durch die Bestimmung eines Flächeninhalts im \(s\)-\(F\)-Diagramm berechnen.

Wir "arbeiten" nun in unserem Fall an dem Körper, indem wir eine (konstante) Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) aufbringen und den Körper so auf die Geschwindigkeit \(v\) beschleunigen1. Bis der Körper diese Geschwindigkeit erreicht hat, legt er die Beschleunigungsstrecke \(s_{\rm{B}}\) zurück. Über diese Strecke \(s_{\rm{B}}\) wirkt die konstante Kraft vom Betrag \(F=F_{\rm{a}}\) auf den Körper. Das zugehörige \(s\)-\(F\)-Diagramm ist in Abb. 2 dargestellt.

Um die Streckenlänge \(s_{\rm{B}}\) zu bestimmen nutzen wir unser Wissen über die gleichmäßig beschleunigte Bewegung\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{v}{a}}\\{{s_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {s_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\left( {\frac{v}{a}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v^2}}}{a}\quad(1)\]und das 2. NEWTONsche Gesetz\[{F_{\rm{a}}} = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{\rm{a}}}}}{m}\quad(2)\]Setzen wir \((2)\) in \((1)\) ein, so erhalten wir\[{s_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v^2}}}{{\frac{{{F_{\rm{a}}}}}{m}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{{{F_{\rm{a}}}}} \cdot {v^2}\]

Die entstehende Fläche ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt\[W=F_{\rm{a}} \cdot s_{\rm{B}} = F_{\rm{a}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{{{F_{\rm{a}}}}} \cdot {v^2}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\]Damit lautet die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) des Körpers\[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\]und wir haben unser Ziel, eine Formel zur Berechnung der kinetische Energie herzuleiten, erreicht.

1 Dass der Betrag dieser Kraft prinzipiell egal ist zeigt sich gleich dadurch, dass sich im Term für die geleistete Arbeit \(F_{\rm{a}}\) wegkürzt. Wir rechnen mit einer konstanten Kraft und können deshalb unser Wissen über die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nutzen.