Bisher wurde die maximale Entfernung \(h = 90 \mathrm{m}\) des Springers vom Ausgangspunkt vorgegeben. Du sollst nun durch energetische Überlegungen diese Entfernung berechnen; als Bezugspunkt für die Lageenergie des Springers (Normal Null) soll der tiefste Punkt gewählt werden, den der Springer erreicht.
a)
Zeichne in ein Orts(\(y\)) - Energie(\(E\)) - Diagramm den Verlauf der Lageenergie des Springers bis zum Erreichen des tiefsten Punktes (\(y = h\)) unter Berücksichtigung des oben festgelegten Bezugspunktes qualitativ ein.
b)
Skizziere den Verlauf der kinetischen Energie des Springers zwischen \(y = 0\) und \(y = l\) (Seillänge im ungedehnten Zustand) in das \(y\)-\(E\)-Diagramm qualititativ ein.
c)
Skizziere den Verlauf der Spannenergie im \(y\)-\(E\)-Diagramm qualitativ.
d)
Skizziere mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Verlauf der kinetischen Energie des Springers zwischen \(y = l\) und \(y = h\) im \(y\)-\(E\)-Diagramm qualitativ.
e)
Berechne mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes zunächst allgemein die Strecke \(h\) und bestimme anschließend \(h\) aus den Daten \(l = 30 \mathrm{m}\); \(m = 80 \mathrm{kg}\); \(g = 10 \mathrm{\frac{m}{s^2}}\); \(h = 90 \mathrm{m}\); \(D = 40 \mathrm{\frac{N}{m}}\).
f)
Berechne die Maximalgeschwindigkeit des Springers bei den angegebenen Daten in \(\mathrm{\frac{km}{h}}\).
g)
Diskutiere qualitativ mit Hilfe der in Teilaufgabe f) gewonnenen Formel den Einfluss von\(l\), \(m\) und \(D\) auf die Größe \(h\).
Die Lageenergie (sie ist proportional zur Entfernung des gewählten Bezugspunkts) nimmt linear vom Maximalwert (die Skalierung der Energieachse war nicht verlangt) bis zum Wert Null im tiefsten Punkt ab.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Lösung zu Teil a)
b)
Zwischen \(y = 0\) und \(y = l\) ist das Seil noch nicht gespannt, d.h. es liegt noch keine Spannenergie vor. Dies bedeutet, dass aufgrund des Energieerhaltungssatzes aus der linearen Abnahme der Lageenergie ein linearer Anstieg der kinetischen Energie folgt. Beispiel bei \(y = l\): Die Abnahme der Lageenergie \( \Delta E^\ast\) ist gleich der Zunahme der kinetischen Energie bis zu diesem Ort.
c)
Ab \(y = l\) wird die Feder gedehnt. Die Formel für die Spannenergie ist\[ E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot \left( \Delta y \right)^2 \]Die ab \(y = l\) auftretende Spannenergie hat einen parabelförmigen Verlauf. Bei der größten Tiefe (Umkehrpunkt) ist die Spannenergie maximal, während die kinetische Energie und die Lageenergie (Erreichen des Bezugspunktes) Null sind.
d)
Zwischen \(y = l\) und \(y = h\) ergibt sich die kinetische Energie aus der Gesamtenergie abzüglich der Spannenergie und der Lageenergie.
e)
Aufgrund der Energieerhaltung gilt: Gesamtenergie bei \(y = 0\) ist gleich Gesamtenergie bei \(y = h\). Bei \(y = 0\) liegt ausschließliche Lageenergie vor, bei \(y = h\) ausschließlich Spannenergie. Somit gilt\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot D \cdot \left( h - l \right)^2 \]Diese quadratische Gleichung in h muss nun gelöst werden:\[ \begin{array}{} m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot D \cdot \left( h^2 - 2 \cdot h \cdot l + l^2 \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \cdot D \cdot h^2 - h \cdot \left( m \cdot g + l \cdot D \right) + \frac{1}{2} \cdot D \cdot l^2 \\ \\ h_{1,2} = \frac{\left( m \cdot g + l \cdot D \right) \pm \sqrt{\left( m \cdot g \right)^2 + 2 \cdot m \cdot g \cdot l \cdot D} }{D} \end{array} \]Setzt man die gegebenen Zahlenwerte ein, so ergeben sich die Lösungen \(h_1 = 10 \mathrm{m}\) und \(h_2 = 90 \mathrm{m}\). Dabei ist die Lösung \(h_1\) physikalisch nicht sinnvoll.
f)
Durch Rechnung oder aus dem Diagramm kann man entnehmen, dass die kinetische Energie des Springers bei \(y = a\) den Wert \(32,0 \mathrm{kJ}\) annimmt. Hieraus ergibt sich die Geschwindigkeit\[\begin{array}{} E_{kin,max} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{max}^2 \quad \Rightarrow \quad v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{kin,max}}{m}} \\ \\v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 32 \cdot 10^3}{80}} \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 28,3 \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 102 \mathrm{\frac{km}{h}} \end{array} \]
g)
Die maximale Entfernung vom Absprungpunkt wächst mit \(m\) und \(l\). Je kleiner \(D\) ist desto größer wird \(h\).
