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Aufgabe

Kinetische Energie - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zur kinetischen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden Animationen.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot {v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{kin}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2\]nach \(\color{Red}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{v}^2 = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {m}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die kinetische Energie nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein Auto der Masse \(800\,\rm{kg}\) fährt mit einer Geschwindigkeit von \(36\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) .

Berechne die kinetische Energie des Autos.

b)

Das HUBBLE-Weltraumteleskop umkreist mit einer Geschwindigkeit von ca. \(7{,}60\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\) die Erde. Seine kinetische Energie beträgt ca. \(335\,\rm{GJ}\).

Berechne die Masse des HUBBLE-Weltraumteleskops.

c)

Eine Luftgewehrkugel ("Diabolo") hat eine Masse von \(0{,}50\,\rm{g}\), ihre kinetische Energie bei einem Schuss beträgt \(10\,\rm{J}\).

Berechne die Geschwindigkeit der Luftgewehrkugel.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(m = 800\,\rm{kg}\) und \(v=36\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=\frac{36}{3{,}6}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für die kinetische Energie\[E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot 800\,\rm{kg} \cdot \left(10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 = 40\,000\,\rm{J}\]

b)

Mit \(E_{\rm{kin}} = 335\,\rm{GJ} = 335 \cdot 10^9\,\rm{J}\) und \(v =7{,}60\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}=7600\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) erhalten wir mit der Formel für die kinetische Energie\[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\Leftrightarrow m=\frac{E_{\rm{kin}}}{\frac{1}{2} \cdot v^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[m = \frac{335 \cdot 10^9\,\rm{J}}{\frac{1}{2} \cdot \left(7600\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2} = 11\,600\,\rm{kg}\]

c)

Mit \(E_{\rm{kin}} = 10\,\rm{J}\) und \(m=0{,}50\,\rm{g}=0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\rm{kg}\) erhalten wir mit der Formel für die kinetische Energie\[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\Leftrightarrow v = \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm{kin}}}{m}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt { \frac{2 \cdot 10\,\rm{J}}{0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\rm{kg}}} = 200\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung