Eine Bergstraße hat die Steigung \(15\%\). Auf ihr fährt ein Lastwagen der Masse (\(20\,\rm{t}\)) die Strecke von \(5{,}0\,\rm{km}\) bergauf. Der Motor des Lastwagens leistet \(100\,\rm{kW}\).
Hinweis: Die Steigung einer Straße ist wie folgt definiert: Eine Straße mit \(10\%\) Steigung überwindet auf \(100\,\rm{m}\) horizontaler Strecke \(10\,\rm{m}\) Höhenunterschied.
a)
Berechne mit Hilfe des Satzes des PYTHAGORAS den Höhenunterschied \(\Delta h\), den der Lastwagen überwindet. [Kontrollergebnis: \(\Delta h=0{,}74\,\rm{km}\)]
b)
Berechne die Hubarbeit, die der Motor während dieser Fahrt verrichtet.
c)
Berechne die Zeit, die der Lastwagen ungefähr für diese Strecke benötigt.
d)
Berechne die Geschwindigkeit des Lastwagens bei dieser Fahrt.
Bei einer Steigung von \(15\%\) gilt für das Verhältnis der Strecken \(\Delta h\) zu \(b\)\[\frac{{\Delta h}}{b} = 15\%\Leftrightarrow \Delta h = 15\% \cdot b\]Nach dem Satz des PYTHAGORAS ergibt sich damit\[{\left( {5{,}0\,{\rm{km}}} \right)^2} = {\left( {\Delta h} \right)^2} + {b^2} = {\left( {15\% \cdot b} \right)^2} + {b^2} = 1{,}0225 \cdot {b^2}\]und damit\[b = \sqrt {\frac{{{{\left( {5{,}0\,{\rm{km}}} \right)}^2}}}{{1{,}0225}}} = 4{,}9\,{\rm{km}} \Rightarrow h = 15\% \cdot 4{,}9\,{\rm{km}} = 0{,}74\,{\rm{km}}\]
b)
Für die Hubarbeit gilt\[{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot \Delta h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{W_{{\rm{Hub}}}} = 20 \cdot {10^3}\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 0{,}74 \cdot {10^3}\,{\rm{m}} = 1{,}5 \cdot {10^8}\,{\rm{J}}\]
c)
Die benötigte Zeit \(t\) berechnet sich mit \(P=100\,\rm{kW}\) durch\[P = \frac{W}{t} \Leftrightarrow t = \frac{W}{P} \Rightarrow t = \frac{{1{,}5 \cdot {{10}^8}\,{\rm{J}}}}{{100 \cdot {{10}^3}\,{\rm{W}}}} = 1500\,{\rm{s}} = 25\,{\rm{min}}\]
d)
Die Geschwindigkeit \(v\) berechnet sich mit \(s=5{,}0\,\rm{km}\) durch\[s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{5,0{\rm{km}}}}{{\frac{{25}}{{60}}{\rm{h}}}} = 12\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
