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Aufgabe

Bergfahrt

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Eine Bergstraße hat die Steigung \(15\%\). Auf ihr fährt ein Lastwagen (\(m=20\,\rm{t}\)) die Strecke von \(5{,}0\,\rm{km}\) bergauf. Der Motor des Lastwagens leistet \(100\,\rm{kW}\).

Hinweis: Die Steigung einer Straße ist wie folgt definiert: Eine Straße mit \(10\%\) Steigung überwindet auf \(100\,\rm{m}\) horizontaler Strecke \(10\,\rm{m}\) Höhenunterschied.

a)Berechne mit Hilfe des Satzes des PYTHAGORAS den Höhenunterschied \(\Delta h\), den der Lastwagen überwindet. [Kontrollergebnis: \(\Delta h=0{,}74\,\rm{km}\)]

b)Berechne die Hubarbeit, die der Motor während dieser Fahrt verrichtet.

c)Berechne die Zeit, die der Lastwagen ungefähr für diese Strecke benötigt.

d)Berechne die Geschwindigkeit des Lastwagens bei dieser Fahrt.

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a)Bei einer Steigung von \(15\%\) gilt für das Verhältnis der Strecken \(\Delta h\) zu \(b\)\[\frac{{\Delta h}}{b} = 15\%\Leftrightarrow \Delta h = 15\% \cdot b\]Nach dem Satz des PYTHAGORAS ergibt sich damit\[{\left( {5{,}0\,{\rm{km}}} \right)^2} = {\left( {\Delta h} \right)^2} + {b^2} = {\left( {15\% \cdot b} \right)^2} + {b^2} = 1{,}0025 \cdot {b^2}\]und damit\[b = \sqrt {\frac{{{{\left( {5{,}0\,{\rm{km}}} \right)}^2}}}{{1{,}0025}}} = 4{,}9\,{\rm{km}} \Rightarrow h = 15\% \cdot 4{,}9\,{\rm{km}} = 0{,}74\,{\rm{km}}\]

b)Für die Hubarbeit gilt\[{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot \Delta h \Rightarrow {W_{{\rm{Hub}}}} = 20 \cdot {10^3}\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 7{,}4 \cdot {10^3}\,{\rm{m}} = 1{,}5 \cdot {10^8}\,{\rm{J}}\]

c)Die benötigte Zeit \(t\) berechnet sich mit \(P=100\,\rm{kW}\) durch\[P = \frac{W}{t} \Leftrightarrow t = \frac{W}{P} \Rightarrow t = \frac{{1{,}5 \cdot {{10}^8}\,{\rm{J}}}}{{100 \cdot {{10}^3}\,{\rm{W}}}} = 1500\,{\rm{s}} = 25\,{\rm{min}}\]

d)Die Geschwindigkeit \(v\) berechnet sich mit \(s=5{,}0\,\rm{km}\) durch\[s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{5,0{\rm{km}}}}{{\frac{{25}}{{60}}{\rm{h}}}} = 12\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung