Abb. 1 Skizze zur Aufgabenstellung
Ein Fahrzeug steht oben auf einem Hügel. Dann lässt man es herunterrollen. Am Fuß des Hügels beträgt seine Geschwindigkeit \(4\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).
Dann lässt man das Fahrzeug wieder den Hügel hinunterrollen, diesmal jedoch mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(3\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).
Wie schnell ist das Auto jetzt am Fuß des Hügels? Energieverluste durch Reibung können vernachlässigt werden.
Falsch ist die Antwort \(7\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\), auf die man diese zuerst tippt. Warum? Es addieren sich die zwar die auftretenden Energien, da aber die Geschwindigkeit in der kinetischen Energie quadratisch auftritt, addieren sich die Geschwindigkeiten nicht. Wie man zur korrekten Lösung gelangt zeigen wir dir in der folgenden ausführlichen Lösung.
Wir bezeichnen die Höhe des Hügels mit \(h\), die Endgeschwindigkeit des Autos beim ersten Hinabrollen mit \(v_1\), die Anfangsgeschwindigkeit beim zweiten Hinabrollen mit \(v_2\) und die Endgeschwindigkeit beim zweiten Hinabrollen mit \(v_3\). Die Masse des Autos sei \(m\).
Für das erste Hinabrollen des Autos gilt für die Situationen 1 und 2 (vgl. Abb. 2) folgende Energiebilanz:
1
2
\(h\)
\(h\)
\(0\)
\({E_{{\rm{pot}}}}\)
\(m \cdot g \cdot h\)
\(0\)
\(v\)
\(0\)
\(v_1\)
\({E_{{\rm{kin}}}}\)
\(0\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2\)
\({E_{{\rm{ges}}}}\)
\(m \cdot g \cdot h\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2\)
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt dann \[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 \quad (1)\]
Für das zweite Hinabrollen des Autos gilt für die Situationen 1 und 2 (vgl. Abb. 2) folgende Energiebilanz:
1
2
\(h\)
\(h\)
\(0\)
\({E_{{\rm{pot}}}}\)
\(m \cdot g \cdot h\)
\(0\)
\(v\)
\(v_2\)
\(v_3\)
\({E_{{\rm{kin}}}}\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_3^2\)
\({E_{{\rm{ges}}}}\)
\(m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_3^2\)
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt dann \[m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_3^2 \quad (2)\]Setzt man nun \((1)\) in \((2)\) ein, so erhält man\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_3^2\]Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch \(\frac{1}{2} \cdot m\) und löst nach \(v_3\) auf, so erhält man\[{v_3} = \sqrt {v_1^2 + v_2^2} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_3} = \sqrt {{{\left( {3\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)}^2} + {{\left( {4\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)}^2}} = 5\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
