Eine Kuckucksuhr hängt an der Wand und tickt schon seit 250 Jahren vor sich hin. Die beiden Eisengewichte (Fichtenzapfen) mit einer Masse von je \(3{,}5\,\rm{kg}\) werden einmal in der Woche hochgezogen und liefern auf ihrer Talfahrt von 85 cm die nötige Energie für das Uhrwerk und den Antrieb des Kuckucks.
a)
Überprüfe rechnerisch, ob es tatsächlich wahr ist, dass diese Uhr nicht wesentlich mehr Energie benötigt als eine moderne elektronische Armbanduhr bei der einmal im Jahr die Batterie (Energiegehalt \(250\,\rm{mWh}\)) ausgewechselt werden muss?
Berechnung der Energie, welche der Kuckucksuhr im Jahr zur Verfügung steht:
\[ \Delta E = m \cdot g \cdot h \Rightarrow \Delta E = 7{,}0\,\rm{kg} \cdot 9{,}8\,\rm{\frac{N}{kg}} \cdot 0{,}85\,\rm{m} \cdot 52 = 3{,}0\,\rm{kJ} \]
Berechnung der Energie, welche der Armbanduhr im Jahr zur Verfügung steht, in \(\rm{kJ}\): \[ \Delta E = 250\,\rm{mWh} = 250 \cdot 10^{-3} \cdot 3600\,\rm{Ws} = 0{,}9\,\rm{kJ} \] Die Kuckucksuhr benötigt etwas mehr als dreimal soviel Energie wie die Armbanduhr.
b)
Umgesetzte Leistung bei der Kuckucksuhr:
\[ P = \frac{\Delta E}{\Delta t} \Rightarrow P = \frac{3{,}0 \cdot 10^3\,\rm{J}}{365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s}} = 9{,}5 \cdot 10^{-5}\,\rm{W} = 95\,\rm{\mu W} \]
Umgesetzte Leistung bei der Armbanduhr:
\[ P = \frac{250\,\rm{mWh}}{365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s}} = \frac{250 \cdot 10^{-3}\,\rm{W} \cdot 3600\,\rm{s}}{365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s}} = 2{,}9 \cdot 10^{-5}\,\rm{W} = 29\,\rm{\mu W} \]
