Das Ziel dieses Artikels
Eine Körper der Masse \(m\), der sich an einem Ort mit dem Ortsfaktor \(g\) auf einer Höhe \(h\) über dem Nullniveau Erdboden befindet, besitzt potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\).
Aber wie groß ist diese potentielle Energie? Oder genauer: Wie lautet die Formel, mit der wir den Wert dieser potentiellen Energie berechnen können?
Die Antwort auf diese Frage können wir experimentell gewinnen, aber auch theoretisch mit Hilfe des Begriffs der physikalischen Arbeit herleiten. Diesen zweiten Weg wollen wir dir in diesem Artikel vorstellen.
Anheben des Körpers als physikalische Arbeit
Wir hatten als "arbeiten im physikalischen Sinn" die Übertragung von Energie von einem System auf ein anderes System und die "physikalische Arbeit" \(W\) als die Menge der dabei übertragenen Energie definiert.
Wir gehen nun davon aus, dass ein Körper der Masse \(m\) an einem Ort mit dem Ortsfaktor \(g\) auf dem Erdboden liegt und das System "Erde-Körper" in diesem Zustand keine potentielle Energie besitzt. Wenn wir als System "Mensch" nun den Körper auf eine Höhe \(h\) über den Erdboden anheben, dann übertragen wir dem System "Erde-Körper" Energie: wir "arbeiten". Die dabei von uns geleistete Arbeit \(W\) ist dann als potentielle Energie im System "Erde-Körper" gespeichert.
Berechnung der physikalischen Arbeit \(W\)
Joachim Herz Stiftung
"Arbeiten im physikalischen Sinne" geschieht bekanntlich dadurch, über eine Strecke \(s\) eine Kraft vom Betrag \(F\) in Wegrichtung wirken zu lassen. Den Betrag der dabei geleisteten physikalischen Arbeit \(W\) können wir durch die Bestimmung eines Flächeninhalts im \(s\)-\(F\)-Diagramm berechnen.
Wir "arbeiten" nun in unserem Fall an dem Körper, indem wir eine konstante äußere Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) nach oben aufbringen und den Körper so mit konstanter Geschwindigkeit auf die Höhe \(h\) anheben. Die äußere Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) muss betraglich gleich der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) sein1. Dann wirkt also über die Strecke \(s=h\) eine konstante Kraft vom Betrag \(F_{\rm{a}}=m \cdot g\) auf den Körper. Das zugehörige \(s\)-\(F\)-Diagramm ist in Abb. 2 dargestellt.
Die entstehende Fläche ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt\[W=F_{\rm{a}} \cdot h = m \cdot g \cdot h\]Damit lautet die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) des Systems "Erde-Körper"\[E_{\rm{pot}}=m \cdot g \cdot h\]und wir haben unser Ziel, eine Formel zur Berechnung der potentiellen Energie herzuleiten, erreicht.
1 Praktisch geschieht das Anheben dadurch, dass wir den Körper kurzfristig mit einer Kraft, die betraglich etwas größer ist als die Gewichtskraft, nach oben beschleunigen. Wenn der Körper einmal Geschwindigkeit erreicht hat, dann müssen wir nur noch die konstante Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) nach oben aufbringen, um die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) nach unten zu kompensieren. Dann bewegt sich der Körper nämlich ohne resultierende Kraft auf ihn gleichförmig weiter nach oben. Kurz vor Ende der Bewegung reduzieren wir nun unsere Kraft, so dass die Gewichtskraft "die Oberhand gewinnt" und den Körper bis zum Erreichen der endgültigen Höhe abbremst. Die "zusätzliche" Arbeit, die wir beim Beschleunigen zu Beginn leisten müssen, bekommen wir glücklicherweise beim Abbremsen vollständig zurück, so dass der im Diagramm markierte Flächeninhalt exakt der von uns geleisteten Arbeit entspricht.