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Aufgabe

Beziehung zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Quantitative Untersuchung zur Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit mit einer schiefen Ebene

Abb. 1 zeigt einen Versuch zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit \(v\) eines Körpers seiner kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\). Dabei werden zwei Messwerte aufgenommen (Versuch 1 und Versuch 2). Dabei wird der Energieerhaltungssatz genutzt.

a)Erläutere, welche physikalischen Größen zwischen Versuch 1 und Versuch 2 verändert und welche Größen konstant gehalten werden.

b)Die Breite des vom Wagen abstehenden Streifens, der die Lichtschranke unterbricht, sei \(s=10\,\rm{mm}\).
Berechne die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) des Wagens beim Durchgang durch die Lichtschranke in den beiden Versuchsdurchführungen.

c)Zeige durch eine Rechnung, dass die Geschwindigkeit \(v\) nicht proportional zur Starthöhe \(h\) ist.
Tipp: Du musst zeigen, dass keine Quotientengleichheit vorliegt.

d)Weitere Rechnungen zeigen, dass der Zusammenhang \(h \sim v^2\) gilt.

Zeige unter Nutzung der Energieerhaltung, dass daher auch \(E_{\rm{kin}} \sim v^2\) gilt.

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a)In den Versuchen wird die Starthöhe \(h\) des Wagens variiert. In Versuchsdurchführung 1 startet er aus der Höhe \(h\), bei Versuchsdurchführung 2 startet er aus der doppelten Höhe \(2\cdot h\). Die Masse \(m\) des Wagens bzw. seine Gewichtskraft \(F_G\) bleibt unverändert. Ebenso bleibt die Breite des Streifens, der die Lichtschranke unterbringt, in beiden Versuchsdurchführungen gleich.

b)Es gilt allgemein \(v=\frac{s}{t}\).
In Versuchsdurchführung 1 mit Starthöhe \(h\) ergibt sich \[v_1=\frac{10\,\rm{mm}}{7{,}7\,\rm{ms}}=1{,}3\,\rm{\frac{m}{s}}\]In Versuchsdurchführung 2 mit Starthöhe \(2\cdot h\) ergibt sich \[v_2=\frac{10\,\rm{mm}}{5{,}5\,\rm{ms}}=1{,}8\,\rm{\frac{m}{s}}\]

c)Wenn \(h\sim v\) gelten würde, dann müsste Quotientengleichheit herrschen, also \(\frac{h_1}{v_1}=\frac{h_2}{v_2}\) gelten. Einsetzen der Werte aus Aufgabenteil b) liefert:\[\frac{h_1}{v_1}=\frac{h}{1{,}3}=0{,}77\cdot h\quad \text{bzw.}\quad \frac{h_2}{v_2}=\frac{2\cdot h}{1{,}8}=1{,}11\cdot h\]Die Quotienten sind also nicht gleich und damit ist die Geschwindigkeit \(v\) nicht proportional zur Starthöhe \(h\).

d)Da im Versuch die Masse \(m\) des Wagens konstant gehalten wurde und sich auch der Ortsfaktor \(g\) nicht verändert hat, folgt aus \(h \sim v^2 \) auch \(m\cdot g \cdot h \sim v^2\).

Da \(m\cdot g \cdot h=E_{\rm{pot}}\) ist, gilt somit \( E_{\rm{pot}} \sim v^2\).

Mithilfe der Energieerhaltung, also \(E_{\rm{pot}} = E_{\rm{kin}}\) folgt \[\Rightarrow E_{\rm{kin}} \sim v^2\]