Abb. 1 Streckenprofil der Etappe von Bourg-d'Oisans nach L'Alpe d'Huez
Das Bergzeitfahren der Tour de France am 21.07.2004 führte von Bourg-d'Oisans nach L'Alpe d'Huez gemäß dem Streckenprofil, dass in Abb. 1 dargestellt ist.
a)
Berechne die mittlere Steigung bei dieser Strecke.
b)
Berechne die Hubarbeit, die Jan Ullrich (GER) oder Lance Armstrong (USA) (Masse inclusive Rad und Kleidung je \(80\,\rm{kg}\)) bei diesem Bergzeitfahren verrichten mussten.
c)
Berechne die mittlere Leistung, die beide nur für die Hubarbeit aufbringen mussten. Verwende dazu die Fahrzeiten von Armstrong von \(39\,\rm{min}\,41\,\rm{s}\) und von Ullrich von \(40\,\rm{min}\,42\,\rm{s}\).
d)
Berechne, wieviel Prozent mehr Leistung Armstrong als Ullrich brachte.
e)
Berechne die mittleren Geschwindigkeiten, die Armstrong und Ullrich fuhren.
Die mittlere Steigung \(\bar m\) ist der Quotient aus dem Höhenunterschied von \(1850\,\rm{m} - 720\,\rm{m}=1130\,\rm{m}\) und der Wegstrecke auf der Karte von \(15{,}5\,\rm{km}=15500\,\rm{m}\). Wir erhalten\[\bar m=\frac{1130\,\rm{m}}{15500\,\rm{m}} = 0{,}073 = 7{,}3\%\]
b)
Mit \(m=80\,\rm{kg}\) und \(h=1850\,\rm{m}-720\,\rm{m}=1130\,\rm{m}\) berechnen wir die Hubarbeit \(W_{\rm{Hub}}\) durch\[W_{\rm{Hub}} = m \cdot g \cdot h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[W_{\rm{Hub}} = 80\,\rm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} \cdot 1130\,\rm{m} = 890\,\rm{kJ}\]
c)
Mit \(W_{\rm{Hub}} = 890\,\rm{kJ} = 890 \cdot 10^3\,\rm{J}\) und \(\Delta t_{\rm{A}} = 39\,\rm{min}\,41\,\rm{s} = 2381\,\rm{s}\) bzw. \(\Delta t_{\rm{U}} = 40\,\rm{min}\,42\,\rm{s} = 2442\,\rm{s}\) berechnen sich die Leistungen nach\[P = \frac{W_{\rm{Hub}}}{\Delta t}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[P_{\rm{A}} = \frac{890 \cdot 10^3\,\rm{J}}{2381\,\rm{s}} = 370\, \rm{W}\]\[P_{\rm{U}} = \frac{890 \cdot 10^3\,\rm{J}}{2442\,\rm{s}} = 360\, \rm{W}\]Die wirkliche Leistung der Sportler ist auf Grund von Rollwiderstand, Luftwiderstand und anderen Faktoren, die den Wirkungsgrad mindern, um \(100\) bis \(150\,\rm{W}\) höher.
d)
Den relativen Leistungsunterschied von Armstrong gegenüber Ullrich berechnet sich durch\[p\%=\frac{P_{\rm{A}}-P_{\rm{U}}}{P_{\rm{U}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[p\%=\frac{370\,\rm{W}-360\,\rm{W}}{360\,\rm{W}}=0{,}028=2{,}8\%\]
e)
Die zurückgelegte Strecke \(s\) berechnet sich nach dem Satz von PYTHAGORAS aus der Wegstrecke auf der Karte von \(15500\,\rm{m}\) und dem bereits in Aufgabenteil a) berechneten Höhenunterschied \(1130\,\rm{m}\) (bei eigentlich nur drei gültigen Ziffern Genauigkeit) durch\[s^2=\left(15500\,\rm{m}\right)^2+\left(1130\,\rm{m}\right)^2 \Rightarrow s=\sqrt{\left(15500\,\rm{m}\right)^2+\left(1130\,\rm{m}\right)^2}=15541\,\rm{m}\]Mit \(\Delta t_{\rm{A}} = 2381\,\rm{s}\) bzw. \(\Delta t_{\rm{U}} = 2442\,\rm{s}\) (vgl. Aufgabenteil c)) berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeiten mittels\[\bar v = \frac{s}{\Delta t}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\bar v_{\rm{A}} = \frac{15541\,\rm{m}}{2381\,\rm{s}} = 6{,}53\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 23{,}5\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]\[\bar v_{\rm{U}} = \frac{15541\,\rm{m}}{2442\,\rm{s}} = 6{,}36\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 22{,}9\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]
