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Grundwissen

Spannenergie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) einer gedehnten Feder ist proportional zu ihrer Federkonstante \(D\) und proportional zum Quadrat \(s^2\) ihrer Dehnung.
  • Für die Spannenergie einer Feder gilt \(E_{\rm{Spann}}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2\).
  • Die Einheit der Spannenergie ist das Joule: \(\left[ E_{\rm{Spann}} \right] =1\,\rm{J}\).
Aufgaben Aufgaben

Von welchen Größen hängt die Spannenergie ab?

In der Simulation in Abb. 1 siehst du eine Feder (schwarz) mit der Federkonstante \(D\), die um eine Strecke der Länge \(s\) zusammengedrückt ("gespannt") ist. Es liegt also Energie in Form von Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) vor.

Federkonstante D
Auslenkung s
Eindringtiefe e
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Abb. 1 Experiment zur Untersuchung der Abhängigkeit der Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) von der Federkonstante \(D\) und der Dehnung \(s\)

Wenn du die Simulation startest, entspannt sich die Feder und beschleunigt einen Körper nach rechts. Dieser Körper trifft auf einen Nagel (blau), der in einem Schaumstoffblock (gelb) steckt. Durch den Aufprall des Körpers dringt der Nagel tiefer in den Schaumstoffblock ein. Die Simulation zeigt den Wert der zusätzlichen Eindringtiefe \(e\) an. Die Simulation geht von der plausiblen Voraussetzung aus, dass die Eindringtiefe \(e\) des Nagels in den Schaumstoff ein Maß für die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) der Feder zu Beginn ist.

Mit den Schiebereglern am linken Rand der Simulation kannst du die Werte für die die Federkonstante \(D\) und die Dehnung \(s\) in gewissen Grenzen verändern.

Wenn du in der Simulation jeweils eine Größe konstant hältst und die andere Größe schrittweise veränderst, kannst du folgende Beobachtungen machen:

  • Je größer die Federkonstante \(D\) der Feder, desto größer ist die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\).
  • Je größer die Dehnung \(s\) der Feder, desto größer ist die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\).

Eine Formel für die Spannenergie

Sowohl durch viele Versuche als auch durch theoretische Überlegungen ist es den Physikern gelungen, eine Formel für die Spannenergie zu finden. Wie man auf den verschiedenen Wegen zu dieser Formel gelangt findest du in den weiterführenden Artikeln am Ende dieser Seite.

Es zeigt sich, dass die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) eines elastischen Körpers (z.B. einer Feder) mit der Federkonstante \(D\), der um eine Strecke der Länge  \(s\) gedehnt oder gestaucht ist, proportional zur Federkonstante \(D\) und zum Quadrat \(s^2\) der Streckenlänge ist. Die Proportionalitätskonstante hat den Wert \(\frac{1}{2}\).

Spannenergie (elastische Energie)

Wenn ein elastischer Körper wie z.B. eine Feder mit der Federkonstante \(D\) um eine Strecke der Länge \(s\) gedehnt oder gestaucht ist, dann besitzt der Körper die Spannenergie (elastische Energie)\[E_{\rm{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 \quad(1)\]Mit dieser Formel können wir eine Maßeinheit für die Spannenergie festlegen:

John Collier [Public domain], via Wikimedia Commons
Abb. 2 James Prescott JOULE (1818 - 1889)

Tab. 1 Definition der Spannenergie und ihrer Einheit

Größe
Name Symbol Definition
Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) \(E_{\rm{Spann}} := \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\)
Einheit
Name Symbol Definition
Joule \(\rm{J}\) \(1\,\rm{J}:=1\,\rm{N}\;\rm{m}=1\, \frac{\rm{kg}\,\rm{m}^2}{\rm{s}^2}\)

Gleichung \((1)\) gibt eine Erklärung, was du dir unter einer Spannenergie von \(1\,\rm{J}\) vorstellen kannst: Ein elastischer Körper besitzt eine Spannenergie von \(1\,\rm{J}\), wenn der Körper die Federkonstante \(2\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) hat und um eine Strecke der Länge \(1\,\rm{m}\) gedehnt oder gestaucht ist.

Will man in Kurzschreibweise ausdrücken, dass die Einheit der Spannenergie \(1\,\rm{J}\) ist, so kann man schreiben \([E_{\rm{Spann}}] = 1\,\rm{J}\).

Hinweis

Als Schülerin oder Schüler denkt man sich immer: "Warum beschäftigen sich die Physiker immer mit diesen Federn?". Der Grund hierfür ist, dass sich z.B. die Atome in einem Kristall bei einer Verformung fast genau so verhalten, als ob sie von winzigen Federn zusammengehalten werden. Somit ist die Feder ein perfektes Modell für die Festkörperphysiker, die sich mit dem Verhalten verschiedener Materialien beschäftigen.

Hinweis

Auch für die potentielle und die kinetische Energie gibt es entsprechende Formeln. Weil die Physiker davon überzeugt sind, dass die Energie in einem System erhalten bleibt, mussten sie beim Aufstellen der Formeln  genau darauf achten, dass bei jeder Energieumwandlung die Energiewerte, die mit den Formeln vor und nach der Umwandlung berechnet werden können, gleich sind. Das ist ihnen zum Glück gelungen!

Dieses Vorgehen beim Aufstellen der Formeln bedeutet aber insbesondere, dass du durch das Anwenden der Formeln in Versuchen die Energieerhaltung nicht "beweisen" kannst, weil die Formeln gerade so entwickelt wurden, dass die Energieerhaltung gewährleistet ist.

 

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