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Aufgabe

Wie hoch war der Berg?

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe 1
Ein Achterbahnwagen rollt mit vernachlässigbar kleiner Anfangsgeschwindigkeit auf Schienen von einer Bergebene in der Höhe \(h\) hinunter (siehe Skizze). Am Fuße des Berges erreicht der Waagen eine Geschwindigkeit von \(v=30{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\).

a)Berechne die Höhe \(h\) der Bergebene, von der der Wagen losgerollt ist. Die Reibung soll hierbei vernachlässigt werden.

b)Beschreibe und begründe mit Worten (keine Rechnung!), wie sich die Geschwindigkeit \(v\) des Wagens am Fußes des Berges verändern würde, wenn die Reibung des Wagens beim Herunterrollen von der Bergebene nicht vernachlässigt werden darf.

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a)Es gilt der Energieerhaltungssatz, also: \[E_{\rm{vorher}}=E_{\rm{nachher}}\] Auf der Bergebene besitzt der Wagen nur Höhenenergie, also ist \(E_{\rm{vorher}}=m\cdot g\cdot h\).

Am Fuß des Berges (Nullviveau) besitzt der Wagen keine Höhenenergie mehr, sondern nur noch Bewegungsenergie, also ist \(E_{\rm{nachher}}=\frac{1}{2}m\cdot v^2\).

Somit folgt\[m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}m\cdot v^2\] Durch Teilen der Gleichung durch \(m\) führt zu \[h\cdot g=\frac{1}{2}\cdot v^2\] Teilen durch den Ortsfaktor \(g\) liefert \[h=\frac{\cdot v^2}{2\cdot g}\] Einsetzen der gegebenen Werte und ausrechnen:\[h=\frac{\left(30{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\right)^2}{2\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}=45{,}9\,\rm{m}\] Das Bergplateau

b)Die Geschwindigkeit \(v\) des Wagens am Fuß des Berges wäre etwas geringer, wenn man die Reibung nicht vernachlässigen darf. Ein Teil der Höhenenergie des Wagens wird beim Herunterrollen durch die Reibung in thermische Energie umgewandelt. Um diesen Teil ist die Bewegungsenergie am Ende verringert, die Geschwindigkeit also geringer.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung