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Grundwissen

Goldene Regel der Mechanik

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Durch Einsatz eines Kraftwandlers muss man oft weniger Kraft aufbringen, diese aber dann entlang eines längeren Weges.
  • Das Produkt aus Kraft (entlang des Weges) und Weg ändert sich nicht beim Einsatz eines Kraftwandlers.
  • Physikalische Arbeit kann nicht "gespart" werden.

Kraft zum Anheben einer Kiste

Abb. 1 Direktes Anheben einer Kiste auf die Höhe \(h\) sowie die wirkenden Kräfte in einem Kräfteplan

Eine Kiste soll wie in Abb. 1 von der Höhe \(h = 0\) auf die Höhe \(h = {h_1}\) angehoben werden. Wenn die Kiste nicht zu schwer ist, kannst du die Kiste direkt anheben. Dazu musst du eine nach oben gerichtete Kraft \({\vec{F_a}}\) längs der Strecke \(\Delta h = {h_1} - 0\) wirken lassen. Der Betrag der Kraft \({\vec{F_a}}\), die du aufbringen musst, ist dabei gleich dem Betrag der Gewichtskraft \({\vec{F_g}}\) der Kiste.

Hinweis: Vielleicht denkst du, dass du zum Heben der Kiste einen größeren Kraftbetrag als die Gewichtskraft der Kiste brauchen würdest. Hebst du aber die Kiste gleichförmig an (konstante Geschwindigkeit), so muss am Körper nur Kräftegleichgewicht herrschen. Du musst also genau die Gewichtskraft der Kiste aufbringen.

Ein Kraftwandler reduziert die aufzubringende Kraft

Wenn die anzuhebende Kiste sehr schwer ist, kannst du die Kiste nicht mehr direkt anheben. Du brauchst ein Hilfsmittel, dass die aufzubringende Kraft \({\vec{F_a}}\) reduziert.
So ein Hilfsmittel kann z.B. eine schiefe Ebene, ein Flaschenzug oder ein Hebel sein. In der Physik bezeichnet man diese Gegenstände als Kraftwandler. Alle drei Kraftwandlern verringern den Kraftbetrag \({\vec{F_a}}\), den du aufbringen musst:

  • Je geringer die Neigung (Steilheit) der schiefen Ebene ist, desto geringer ist die Kraft, die du aufbringen musst um die Kiste nach oben zu ziehen oder zu schieben.
  • Je größer die Anzahl der tragenden Seile bzw. losen Rollen eines Flaschenzug ist, desto kleiner ist die Kraft, mit der du am Seil ziehen musst.
  • Je länger dein Hebelarm zum Anheben der Kiste ist, desto kleiner ist die Kraft, die du hierfür benötigst.

Kraft entlang eines längeren Weges nötig

Zwar verringert sich bei allen drei Kraftwandlern die notwendige Kraft \({\vec {F_a}}\), allerdings verlängert sich im Gegenzug im gleichen Maße bei allen drei Kraftwandlern der Weg \(\Delta s\), entlang dem du die Kraft \({\vec {F_a}}\) aufbringen musst.

  • Je geringer die Neigung (Steilheit) der schiefen Ebene ist, desto länger ist der Weg, den du Kiste auf der scheifen Ebene nach oben schieben bzw. ziehen musst, bis die Kiste die Höhe \(h_1\) erreicht hat.
  • Je größer die Anzahl der tragenden Seile bzw. losen Rollen eines Flaschenzug ist, desto länger musst du am Seil ziehen bzw. desto mehr Seil muss durch deine Hände gehen, bis die Kiste die Höhe \(h_1\) erreicht hat.
  • Je länger dein Hebelarm zum Anheben der Kiste ist, desto weiter musst du den Hebel bewegen, um die Kiste auf die Höhe \(h_1\) zu bringen.

Produkt aus Kraft und Strecke bleibt gleich

Bringst du beide Aspekte zusammen, also die Verringerung der nötigen Kraft und die Verlängerung des Weges in gleichem Maße, führt dies zur sogenannten "Goldenen Regel der Mechanik":

Goldene Regel der Mechanik

Das Produkt aus Kraft (entlang des Weges) und Weg ändert sich durch Einsatz eines Kraftwandlers nicht.

Stets gilt: \({F_g} \cdot \Delta h = {F_s} \cdot \Delta s\)

Die Goldene Regel der Mechanik drückt den Energieerhaltungssatz für klassische Beispiele aus der Mechanik aus. Die Regel gilt daher auch nur für ideale, also reibungsfreie Kraftwandler.

Da das Produkt aus Kraft \(F_s\) (entlang des Weges) und Weg \(\Delta s\) gerade die physikalische Arbeit \(W\) sind, kannst du auch sagen: "Physikalische Arbeit kann nicht gespart werden, denn was man an Kraft spart, musst man an Weg zusetzen".

Goldene Regel an der Schiefen Ebene

Abb. 2 Anheben einer Kiste auf die Höhe \(h\) mit Hilfe einer schiefen Ebene sowie die wirkenden Kräfte in einem Kräfteplan

Abb. 2 zeigt, das du an der schiefen Ebene eine geringere Kraft \(\vec{F_{\rm{s}}}\) aufbringen musst, um die Kiste in die Höhe \(h_1\) zu bringen, als wenn die sie direkt senkrecht nach oben anheben würdest. Dafür ist der Weg \(\Delta s\), den du die Kiste auf der schiefen Ebene nach oben ziehst, länger als der direkte Weg \(\Delta h\).

Entsprechend der Goldenen Regel der Mechanik gilt dabei betragsmäßig:\[F_{\rm{g}}\cdot \Delta h=F_{\rm{s}}\cdot \Delta s\]

Dies kannst du natürlich auch mithilfe von einfachen Experimenten zeigen, wenn die die entsprechenden Kräfte und Strecken misst.

Goldene Regel beim Flaschenzug

Abb. 3 Anheben einer Kiste auf die Höhe \(h\) mit Hilfe eines Flaschenzugs sowie die wirkenden Kräfte in einem Kräfteplan

Abb. 3 zeigt, das du beim Einsatz eines Flaschenzuges eine geringere Kraft \(\vec{F_{\rm{s}}}\) aufbringen musst, um die Kiste in die Höhe \(h_1\) zu bringen, als wenn du die Kiste direkt senkrecht nach oben anheben würdest. Dafür ist der Weg \(\Delta s\), den du am Seil ziehen musst, entsprechend länger als der direkte Weg \(\Delta h\).

Entsprechend der Goldenen Regel der Mechanik gilt dabei auch hier betragsmäßig:\[F_{\rm{g}}\cdot \Delta h=F_{\rm{s}}\cdot \Delta s\]

Im konkreten Beispiel eines Flaschenzugs mit zwei tragenden Seilen bzw. einer losen Rolle ist die Kraft \(F_{\rm{s}}\), die du am Flaschenzug aufbringen musst, genau halb so groß wie die Kraft, die du beim direkten Anheben der Kiste aufbringen musst. Entsprechend musst du am Flaschenzug doppelt so weit ziehen, damit die Kiste um \(\Delta h\) angehoben wird.

Goldene Regel beim Hebel

Abb. 4 Anheben einer Kiste auf die Höhe \(h\) mit Hilfe eines Hebels sowie die wirkenden Kräfte in einem Kräfteplan

Abb. 4 zeigt, dass auch beim Hebel die Kraft, die du zum Anheben der Kiste aufbringen musst, zwar geringer ist als beim direkten Anheben, dafür aber der Weg, entlang dem due die Kraft aufbringen musst, entsprechend länger ist. Auch hier gilt entsprechend der Goldenen Regel der Mechanik betragsmäßig:\[F_{\rm{g}}\cdot \Delta h=F_{\rm{s}}\cdot \Delta s\]

Mit den drei vorgestellten Kraftwandlern wurde das Gleiche erreicht, wie durch direktes Anheben: Der Schwerpunkt eines Körpers der Gewichtskraft \({F _g}\) wurde um die Strecke \(\Delta h\) angehoben. Mit den Kraftwandler konntest du zwar erreichen, dass du eine geringere Kraft \({F _s}\) längs des Weges \(\Delta s\) aufzuwenden hattest, dafür musstest du diese aber über eine längere Strecke aufbringen. Das Produkt aus Weg und Kraft entlang des Weges blieb dabei allerdings stets gleich, du hast immer die gleiche Arbeit verrichtet.