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Aufgabe

Münchener U-Bahn Linie 1

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Von der Fahrplanauskunft des Münchner Verkehrsverbunds erfährt man für die Strecke vom Olympiaeinkaufszentrum (OEZ) bis zum Mangfallplatz die nebenstehenden Daten:

a)Berechne die mittlere Entfernung Δxm zwischen zwei Stationen.

b)Welche mittlere Geschwindigkeit vm erreicht die U-Bahnlinie zwischen den beiden Endstationen?

c)Es soll nun die Fahrtdauer zwischen zwei Stationen mit der Entfernung Δxm abgeschätzt werden (wir nehmen näherungsweise an, dass Beschleunigungsvorgänge stets mit konstanter Beschleunigung ablaufen). Dazu stehen dir noch folgende Informationen zur Verfügung:

•  Die Beschleunigung auf die Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h dauere 25,0 s;

•  Nach dem Erreichen der Höchstgeschwindigkeit von 80,0 km/h fährt die Bahn gleichförmig;

•  Beim Abbremsen beträgt die Verzögerung 1,20 m/s2.

d)Zeichne ein x-v-Diagramm der U-Bahn zwischen zwei Stationen.

e)Welche mittlere "Standzeit" hat demnach die U1 an einer Haltestelle?

f)Ein moderner U-Bahn-Langzug wiege samt Fahrgästen 200 t.

Welche Leistung muss beim Anfahren des Zuges nur für den Beschleunigungsvorgang aufgebracht werden?

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a)Berechnung der mittleren Entfernung Δxm zwischen zwei Stationen: Es gibt insgesamt 14 Teilstrecken\[\Delta {x_m} = \frac{{12,185}}{{14}}km \approx 870\,m\]

b)\[{v_m} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow {v_m} = \frac{{12185}}{{20 \cdot 60}}\frac{m}{s} \approx 10\frac{m}{s} = 36\frac{{km}}{h}\]

c)Berechnung der Beschleunigung beim Anfahren:\[{v_{\max }} = {a_{anf}} \cdot {t_{anf}} \Rightarrow {a_{anf}} = \frac{{{v_{\max }}}}{{{t_{anf}}}} \Rightarrow {a_{anf}} = \frac{{\left( {{\textstyle{{80} \over {3,6}}}} \right)}}{{25,0}}\frac{m}{{{s^2}}} \approx 0,89\frac{m}{{{s^2}}}\] Berechnung der Anfahrtstrecke:\[{x_{anf}} = \frac{1}{2} \cdot {a_{anf}} \cdot {t_{anf}}^2 \Rightarrow {x_{anf}} = \frac{1}{2} \cdot 0,89 \cdot {(25,0)^2}m \approx 278m\]Berechnung der Zeitdauer für den Bremsvorgang:\[v - {v_{\max }} = {a_{brems}} \cdot {t_{brems}}\;und\;mit\;v = 0\;{t_{brems}} =  - \frac{{{v_{\max }}}}{{{a_{brems}}}}\quad  \Rightarrow \quad {t_{brems}} =  - \frac{{{\textstyle{{80,0} \over {3,6}}}}}{{\left( { - 1,20} \right)}}s \approx \,18,5\,s\]Berechnung der Bremsstrecke:\[\begin{array}{l}{x_{brems}} = {v_{\max }} \cdot {t_{brems}} + {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_{brems}} \cdot {t^2}_{brems}\\{x_{brems}} = \frac{{80,0}}{{3,6}} \cdot 18,5m + {\textstyle{1 \over 2}} \cdot \left( { - 1,20} \right) \cdot 18,{5^2}m \approx 206\,m\end{array}\]Berechnung der Strecke xkonst während der Zug mit konstanter Geschwindigkeit fährt:\[{x_{konst}} = \Delta {x_m} - {x_{brems}} \Rightarrow {x_{konst}} = 870m - 206m - 278m = 386m\]Berechnung der Zeitdauer der gleichförmigen Bewegung:\[{t_{konst}} = \frac{{{x_{konst}}}}{{{v_{\max }}}} \Rightarrow {t_{konst}} = \frac{{386}}{{\frac{{80}}{{3,6}}}}s \approx 17,4s\]Berechnung der gesamten Fahrzeit zwischen zwei Stationen:\[{t_{ges}} = {t_{anf}} + {t_{konst}} + {t_{brems}} \Rightarrow {t_{ges}} = 25,0s + 17,4s + 18,5s = 60,9s\]

d) 

e)Gesamte Zeit für die Fahrt zwischen den Stationen: 14·60,9 s ≈ 853 s;
Gesamte Fahrzeit für die Fahrt zwischen den Endstationen: 1200s;
gesamte Standzeit: 1200s - 853s = 347s; diese Zeit verteilt sich auf 13 Zwischenstationen. Somit ist die mittlere Standzeit: tstand,mittel = 347: 13 s ≈ 27s

f) Berechung der "Anfahr-Leistung" aus der Änderung der Bewegungsenergie beim Anfahren:\[\begin{array}{l}{P_{anf}} = \frac{{{E_{kin,e}} - {E_{kin,a}}}}{{{t_{anf}}}} = \frac{{{E_{kin,e}} - 0}}{{{t_{anf}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\max }}^2}}{{{t_{anf}}}}\\{P_{anf}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot {{10}^3} \cdot {{\left( {\frac{{80,0}}{{3,6}}} \right)}^2}}}{{25,0}}W \approx 2,0MW\end{array}\]