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Grundwissen

Potentielle Energie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) ist proportional zu seiner Höhe über einem definierten Nullniveau.
  • Die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) eines Körpers in fester Höhe \(h\) ist proportional zu seiner Gewichtskraft \(F_g\).
  • Für die Änderung der potentiellen Energie gilt: \(\Delta E_{\rm{pot}} = F_g \cdot \Delta h =m \cdot g\cdot \Delta h\)
  • Die Einheit der potentiellen Energie ist Joule: \(\left[ E_{\rm{kin}} \right] =1\,\rm{J}\)
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Von welchen Größen hängt die potentielle Energie ab?

Abb. 1 Abhängigkeit der potentiellen Energie von Höhe \(h\) und Masse \(m\)

Plausible Festlegung: Je größer die Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe).

Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst potentielle Energie (Höhenenergie) in kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgewandelt wird, kannst du aus einer stärkeren Verformung des Kneteklumpens auch auf eine höhere potentielle Energie schließen.

Versuch 1: Man lässt einen Körper der Masse \(m\) aus der Höhe \(h\) auf einen Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man lässt den gleichen Körper (Masse \(m\)) aus der Höhe \(2 \cdot h\) auf den Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3: Man lässt einen Körper der Masse \(2 \cdot m\) aus der Höhe \(h\) auf den Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis: Die potentielle Energie (Höhenenergie/Lageenergie) eines Körpers nimmt mit dessen Höhe über einem Nullniveau und dessen Masse zu.

Zusammenhang von Höhenänderung und potentieller Energie

Abb. 2 Quantitative Überlegungen zur Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Höhe

Die Animation in Abb. 2 zeigt folgenden Sachverhalt:

  • Hebst du die Kiste jeweils um ein Stockwerk an, so nimmt die potentielle Energie jeweils um eine Energieportion (EP) zu.
  • Hebst du die Kiste um zwei (drei) Stockwerke an, so nimmt die potentielle Energie um zwei (drei) Energieportionen zu.

Verallgemeinerst du diese Erkenntnisse, so kannst du sagen:
Die Änderung der potentiellen Energie ist proportional zur Änderung der Höhe des Körpers im Vergleich zu einem definierten Nullniveau (als Nullniveau wurde hier das Parterre (Erdgeschoss) gewählt).

Man schreibt: \[\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{\Delta E_{\rm{pot}} \sim \Delta h\qquad\text{bei fester Gewichtskraft }F_g\qquad(1)}\]

Genau genommen solltest du nicht sagen, dass die potentielle Energie der Kiste zunimmt. Die Kiste befindet sich im Anziehungsbereich der Erde. Somit nimmt bei dem Vorgang eigentlich die potentielle Energie des Systems Kiste-Erde zu.

Zusammenhang von Gewichtskraft und potentieller Energie

Abb. 3 Quantitative Überlegungen zur Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Masse

Die Animation in Abb. 3 zeigt folgenden Sachverhalt:

  • Hebst du zwei Kisten (Gewichtskraft jeweils \(F_g\)) um die Höhe \(\Delta h\) an, so nimmt die potentielle Energie des Systems um zwei Energieportionen (EP) zu.
  • Denkst du dir die zwei (drei) Kisten zu einer einzigen Kiste mit der Gewichtskraft \( 2 \cdot F_g \) \( ( 3 \cdot F_g ) \) verschmolzen, so nimmt bei deren Anhebung um die Höhe \(\Delta h\) die potentielle Energie des Systems ebenfalls um zwei (drei) Energieportionen (EP) zu.

Verallgemeinerst du diese Erkenntnisse, so kannst du sagen:
Die Änderung der potentiellen Energie des Systems Erde-Körpers ist proportional zur Gewichtskraft des stets um die gleich Höhe angehobenen Köpers.

Man schreibt: \[\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{\Delta E_{\rm{pot}} \sim \Delta F_g\qquad\text{bei fester Höhenänderung }\Delta h\qquad(2)}\]

Zusammenführen der Erkenntnisse

Die Ergebnisse (1) und (2) kannst du zu einer Proportionalität zusammenfassen:\[ \Delta E_h \sim F_g \cdot \Delta h \]Durch Einführen einer Proportionalitätskonstanten \(C\) kannst du die folgende Gleichung gewinnen:\[ \Delta E_h = C \cdot F_g \cdot \Delta h \]Die Einheiten der physikalischen Größen auf der linken und rechten Gleichungsseite wurden so gewählt, dass die Proportionalitätskonstante \(C\) gerade den Wert \(1\) hat.

Potentielle Energie (Höhenenergie, Lageenergie)

Somit gilt für die Änderung der potentiellen Energie (Höhenenergie, Lageenergie) beim Anheben um \(\Delta h\):

\( \Delta E_{\rm{pot}} = F_g \cdot \Delta h \)  oder   \( \Delta E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot \Delta h \)

Für die Einheit der Energie ergibt sich aus dieser Formel:

\(\left[ E_{\rm{pot}} \right] = 1\,\rm{N \cdot m}\)   bzw.   \( \left[ E_{\rm{pot}} \right] = 1\,\rm{kg \cdot \frac{m^2}{s^2}} \).

In Erinnerung an den berühmten englischen Forscher James Joule wird die Energieeinheit auch als \(1\,\rm{J}\) für Joule geschrieben:\[\left[ E_{\rm{pot}} \right] = 1\,\rm{N \cdot m}=1\,\rm{J}\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur potentiellen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{pot}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}}}{ {m} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}\]nach \(\color{Red}{h}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}}{ {m} \cdot {g}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\).\[\color{Red}{h} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{h}\) aufgelöst.
Abb. 4 Schrittweises Auflösen der Formel für die potentielle Energie nach den vier in der Formel auftretenden Größen

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