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Grundwissen

Kinetische Energie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers hängt von seiner Masse \(m\) und seiner Geschwindigkeit \(v\) ab.
  • Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) ist proportional zur Masse \(m\) und proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, also \(v^2\).
  • Für die kinetische Energie eines Körpers gilt: \(E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\).
  • Die Einheit der kinetischen Energie ist Joule: \(\left[ E_{\rm{kin}} \right] =1\,\rm{J}\)
Aufgaben Aufgaben

Von welchen Größen hängt die kinetische Energie ab?

Abb. 1 Abhängigkeit der kinetischen Energie von Geschwindigkeit \(v\) und Masse \(m\)

Plausible Festlegung: Je größer die kinetische Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe).

Versuch 1: Man lässt ein Spielzeugauto der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) auf einen Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man lässt das gleiche Auto (Masse \(m\)) mit der Geschwindigkeit \(2 \cdot v\) auf den Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3: Man lässt ein beladenes Spielzeugauto (Masse \(2 \cdot m\)) mit der Geschwindigkeit \(v\) auf den Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis: Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers nimmt mit dessen Geschwindigkeit \(v\) und dessen Masse \(m\) zu.

Ermitteln eines formelmäßigen Zusammenhangs

Nun soll der genaue formelmäßige (in der Fachsprache: quantitative) Zusammenhang zwischen kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\), Masse \(m\) und Geschwindigkeit \(v\) eines Körpers herausgefunden werden. Dies gelingt durch Verwendung der Formel für die potentielle Energie und des Energieerhaltungssatzes.

Du wählst einen Versuch aus, bei dem durch einen möglichst reibungsfreien Vorgang potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird:

Da die kinetische Energie eines Körpers von zwei Größen anhängt, sind dabei zwei Messreihen notwendig, Die folgende Animation in Abb. 2 zeigt, wie du eine (sehr kleine) Messreihe zum Einfluss der Geschwindigkeit aufnehmen kannst.

Einfluss der Geschwindigkeit \(v\)

Abb. 2 Quantitative Untersuchung zur Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit mit einem Fadenpendel

Um den Zusammenhang von der Geschwindigkeit \(v\) mit \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers zu untersuchen, nimmst du eine Messreihe auf, bei der die Ausgangshöhe \(h\) des Körpers verändert wird. Die Gewichtskraft \(F_g\) bleibt fest.

Im Versuch in Abb. 2 bleibt die Gewichtskraft \(F_g\) des Probekörpers in den Versuchen 1 und 2 gleich, die Ausgangshöhe \(h\) wird verändert und die Geschwindigkeit \(v\) im tiefsten Punkt gemessen. Es zeigt sich: \[ h \sim v^2 \quad \Rightarrow \quad \text{wegen } F_g = const \quad \Rightarrow \quad F_g \cdot h \sim v^2 \quad \\ \\\Rightarrow E_{pot} \sim v^2 \qquad \text{wegen } E_{pot} = E_{kin} \text{ (Energieerhaltung)} \quad \\ \, \\\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{\Rightarrow E_{kin} \sim v^2 \qquad \text{(1)}} \]

Einfluss der Masse \(m\)

Um den Zusammenhang zwischen der Masse \(m\) eines Körpers und \(E_{\rm{kin}}\) zu untersuchen nimmst du eine 2. Messreihe auf (in der Animation nicht gezeigt!), bei der die Masse \(m\) des Körpers verändert wird. Die Ausgangshöhe \(h\) bleibt fest.

Im Versuch muss die Masse \(m\) der Kugel (bzw. des Wagens) bei gleicher Höhe verändert werden. Aus dem Versuch ergibt sich, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse der Kugel ist. Da bei unveränderter Höhe \(E_{\rm{pot}}\sim m\) ist, gilt auf Grund der Energieerhaltung auch:\[ \bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{E_{kin} \sim m \qquad \text{(2)}}\]

Zusammenführen der Erkenntnisse

Aus den beiden Beziehungen (1) und (2) folgt\[ E_{kin} \sim m \cdot v^2 \quad \Rightarrow \quad E_{kin} = C \cdot m \cdot v^2 \]Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor \(C\) den Wert \(\frac{1}{2}\) hat.

Kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Somit gilt für die kinetische Energie (Bewegungsenergie) \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers mit der Masse \(m\) und der Geschwindingkeit \(v\):\[ E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]Die Einheit der kinetischen Energie entspricht der Einheit der potentiellen Energie, also \(\left[ E_{\rm{kin}} \right]=1\,\rm{J}\). Die Einheit ergibt sich dabei auch aus der Formel für die kinetische Energie\[\left[ E_{\rm{kin}} \right] = 1\,\rm{kg \cdot \frac{m^2}{s^2}}=1\,\rm{J}\]

Alternative Experimente zur Herleitung

Alternativ zum Experiment mit dem Fadenpendel kann auch ein Waagen auf einer schiefen Ebene (siehe "Newton-Wagen") oder auf einer Luftkissenbahn (siehe "Energieerhaltungssatz Feder") genutzt werden. Ein weiteres Experiment mit ausführliche Beschreibung der Durchführung findest du z.B. unter "Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit".

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur kinetischen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden Animationen.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot {v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{kin}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2\]nach \(\color{Red}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{v}^2 = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {m}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Formel für die kinetische Energie nach den drei in der Formel auftretenden Größen