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Ausblick

Theoretische Herleitung der Formel für die Spannenergie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Um eine Feder mit der Federkonstante \(D\) um eine Strecke der Länge \(s\) zu spannen benötigt man die Arbeit \(W= \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\).
  • Damit beträgt die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) einer Feder nach dem Spannen \(E_{\rm{Spann}}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\).

Das Ziel dieses Artikels

Eine Feder mit der Federkonstante \(D\), die um eine Strecke der Länge \(s\) gespannt ist, besitzt Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\).

Aber wie groß ist diese Spannenergie? Oder genauer: Wie lautet die Formel, mit der wir den Wert dieser Spannenergie berechnen können?

Die Antwort auf diese Frage können wir experimentell gewinnen, aber auch theoretisch mit Hilfe des Begriffs der physikalischen Arbeit herleiten. Diesen zweiten Weg wollen wir dir in diesem Artikel vorstellen.

Spannen der Feder als physikalische Arbeit

Wir hatten als "arbeiten im physikalischen Sinn" die Übertragung von Energie von einem System auf ein anderes System und die "physikalische Arbeit" \(W\) als die Menge der dabei übertragenen Energie definiert.

Wir gehen nun davon aus, dass eine Feder mit der Federkonstante \(D\) entspannt ist und in diesem Zustand keine Spannenergie besitzt. Wenn wir als System "Mensch" nun die Feder um eine Strecke der Länge \(s\) spannen, dann übertragen wir der Feder Energie: wir "arbeiten". Die dabei von uns geleistete Arbeit \(W\) ist dann als Spannenergie im Körper gespeichert.

Berechnung der physikalischen Arbeit \(W\)

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 \(s\)-\(F\)-Diagramm für das Spannen einer Feder mit der Federkonstante \(D\) um eine Strecke der Länge \(s_{\rm{max}}\)

"Arbeiten im physikalischen Sinne" geschieht bekanntlich dadurch, über eine Strecke \(s\) eine Kraft vom Betrag \(F\) in Wegrichtung wirken zu lassen. Den Betrag der dabei geleisteten physikalischen Arbeit \(W\) können wir durch die Bestimmung eines Flächeninhalts im \(s\)-\(F\)-Diagramm berechnen.

Wir "arbeiten" nun in unserem Fall an der Feder, indem wir eine äußere Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) aufbringen und so die Feder bis zu einer Dehnung \(s_{\rm{max}}\) spannen1.

Wenn wir genügend langsam spannen, dann muss die Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) genau so groß sein, dass sie die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) gerade kompensiert.

Nun beschreibt die bekannte Formel \(F_{\rm{F}}=-D \cdot s\) des HOOKEschen Gesetzes, dass der Betrag \(F_{\rm{F}}\) der Federkraft proportional zur  Dehnung \(s\) ist. Dies bedeutet, dass die äußere Kraft \(\vec F_{\rm{a}}\) ebenfalls proportional zur  Dehnung \(s\) immer größer werden muss. Wenn schließlich die Feder um die Streckenlänge \(s_{\rm{max}}\) gespannt ist, muss die äußere Kraft den Betrag \(F_{\rm{a,max}}=D \cdot s_{\rm{max}}\) haben. Somit muss die äußere Kraft langsam vom Wert \(0\,\rm{N}\) bis auf den Wert \(F_{\rm{a,max}}=D \cdot s_{\rm{max}}\) ansteigen. Das zugehörige \(s\)-\(F\)-Diagramm ist in Abb. 2 dargestellt.

Die entstehende Fläche ist ein Dreieck mit dem Flächeninhalt\[W=\frac{1}{2} \cdot F_{\rm{a,max}} \cdot s_{\rm{max}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s_{\rm{max}} \cdot s_{\rm{max}}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot {s_{\rm{max}}}^2\]Schreiben wir nun wieder statt \(s_{\rm{max}}\) unser ursprüngliches \(s\), so lautet die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) der Feder\[E_{\rm{Spann}}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\]und wir haben unser Ziel, eine Formel zur Berechnung der Spannenergie herzuleiten, erreicht.

1 Warum reden wir auf einmal von der Dehnung \(s_{\rm{max}}\)? Wir wollen doch eine Formel herleiten, mit der wir die Spannenergie einer um eine Strecke der Länge \(s\) gespannten Feder berechnen können. \(s\) ist also für uns ein fester, vorgegebener Wert von z.B. \(s=10\,\rm{cm}\).

Nun wird aber der Formelbuchstabe \(s\) im \(s\)-\(F\)-Diagramm benutzt als Variable für die Streckenlänge, über die die Kraft wirkt. \(s\) hat also in diesem Zusammenhang keinen festen Wert, sondern ist eine Variable. Auch im HOOKEschen Gesetz \(F_{\rm{F}}=-D \cdot s\) ist \(s\) der Formelbuchstabe für die aktuelle Dehnung der Feder und somit ebenfalls eine Variable.

Um nun "unseren" festen Wert \(s\) von der Variablen in den Formeln zu unterscheiden bezeichnen wir "unser" \(s\), um das wir die Feder letztendlich dehnen wollen, mit \(s_{\rm{max}}\).