Berechne, wie groß in diesem Fall die Geschwindigkeit eines Gesteinsbrockens in der Höhe des Kraterrandes ist. Rechne ohne Luftwiderstand.
Ein leichterer Stein, der mit derselben Geschwindigkeit aus dem Krater geschleudert wird, hat nur \({20\% }\) der kinetischen Energie des vorher betrachteten Steins.
b)
Erläutere, welche Masse dieser Stein im Verhältnis zu dem aus Aufgabenteil a) hat. Gib auch an, welche Höhe dieser leichtere Stein erreicht.
c)
Berechne, wie viel Prozent seiner Anfangsgeschwindigkeit der leichtere Stein in einer Höhe \(h\) verloren hat, wenn dort die kinetische Energie nur noch ein Viertel so groß ist wie am Kraterrand.
Der Kraterrand wird als Nullniveau für die Lageenergie angenommen und die Geschwindigkeitsrichtung vertikal. In der Höhe von \(2,40\rm{km}\) ist die kinetische Energie restlos in Lageenergie umgewandelt.
\[{{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} }\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v = \sqrt {2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2400{\rm{m}}} = 217\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\] Anmerkung: Berücksichtigt man die Luftreibung, so wandelt eine große Menge der kinetischen Energie des Gesteinsbrocken in Turbulenz der Luft um, so dass die wirkliche Ausstoßgeschwindigkeit größer sein muss, um die genannte Höhe zu erreichen.
b)
Wenn die kinetische Energie des anderen Steins nur \({20\% }\) der Energie des vorher betrachteten Steins hat, die Anfangsgeschwindigkeit aber gleich ist, so beträgt die Masse des anderen Steins ebenfalls nur \({20\% }\) der vorher betrachteten.
Aus dem Energieansatz von Aufgabenteil a) folgt: \( h = \frac{v^2}{2 \cdot g} \)
Da bei der Berechnung die Masse nicht eingeht erreicht er ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes die gleiche Höhe wie der Stein von Aufgabenteil a). Berücksichtigt man den Luftwiderstand, so steigt der kleinere Stein weniger hoch als der große.
c)
Es gilt\[{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,neu}}}} = \frac{1}{4}{E_{{\rm{kin}}{\rm{,vorher}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{{\rm{neu}}}^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{{\rm{vorher}}}^2 \Rightarrow {v_{{\rm{neu}}}} = \frac{1}{2} \cdot {v_{{\rm{vorher}}}}}\]
Die Geschwindigkeit ist also auf die Hälfte gesunken, hat also \({50\% }\) verloren.
