Bei der bayerischen Zugspitzbahn fährt ein neuer Doppeltriebwagen, der vollbesetzt die Masse \(76{,}8\,{\rm{t}}\) besitzt, in \(35\,{\rm{min}}\) von der Station Eibsee auf einer Höhe von \(1008\,{\rm{m}}\) auf das \(8{,}3\,{\rm{km}}\) entfernte Zugspitzplatt auf einer Höhe von \(2588\,{\rm{m}}\).
Zur Vereinfachung kannst du davon ausgehen, dass die Bahn ohne Halt mit konstanter Geschwindigkeit fährt und Reibungskräfte vernachlässigt werden können.
a)
Berechne die Geschwindigkeit der Bahn in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).
b)
Berechne die Hubarbeit, die bei der Fahrt vom Eibsee zum Zugspitzplatt verrichtet wird.
c)
Berechne die mechanische "Hubleistung" bei dieser Fahrt.
d)
Die Elektromotoren des Triebwagens nehmen während der Fahrt eine elektrische Dauerleistung von \(1800\,{\rm{kW}}\) auf. Berechne den Wirkungsgrad für den obigen Transportvorgang.
e)
Berechne den Betrag der Kraft, die die Motoren bei dieser Fahrt entwickeln.
Bestimmung der gleichförmigen Geschwindigkeit \[v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow v = \frac{8{,}3\,\rm{km}}{\frac{35}{60}\,\rm{h}} = 14\,\rm{\frac{km}{h}}\]
b)
Hubarbeit ist die Differenz aus der potentiellen Energie nachher und der potentiellen Energie vorher: \[{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot \Delta h \Rightarrow {W_{{\rm{Hub}}}} = 76{,}8 \cdot {10^3}\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {2588\,{\rm{m}} - 1008\,{\rm{m}}} \right) = 1{,}19 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]
Berechnung des Wirkungsgrades als Verhältnis von Nutzleistung (Hubleistung) und aufzuwendender Leistung (elektrische Leistung): \[\eta = \frac{{{P_{{\rm{Hub}}}}}}{{{P_{{\rm{el}}}}}} \Rightarrow \eta = \frac{{0,57 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{1,8 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}} = 32\% \]
e)
Bei der Berechnung der Motorkraft gehen wir davon aus, dass die Verlustleistung bei der Umsetzung der elektrischen Energie in mechanische Energie entsteht. Dann ergibt sich\[{P_{{\rm{Hub}}}} = {F_{{\rm{Motor}}}} \cdot v \Leftrightarrow {F_{{\rm{Motor}}}} = \frac{{{P_{{\rm{Hub}}}}}}{v} \Rightarrow {F_{{\rm{Motor}}}} = \frac{{0,57 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{\frac{{8300}}{{35 \cdot 60}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}14\,{\rm{MN}}\]
