Arbeit, Energie und Leistung

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung

  • Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Kraft?
  • Woher kommt und wohin geht eigentlich die ganze Energie?
  • Kann man mit einem Fahrrad einen Liter Wasser zum Kochen bringen?

Der Begriff "Energie" oder von ihm abgeleitete Begriffe kommen in unserer Sprache sehr häufig vor und weisen schon auf die große Bedeutung dieses Begriffes hin. Hier nur einige Beispiele:

Heizenergie, Energiekrise, Energiereservoir, kriminelle Energie, Energiesparen, Kernenergie, energiegeladen, Energiequelle, Energieverlust, Energieriegel. . . .

Der griechische Ursprung des Wortes "Energie" ist "energeia" und bedeutet soviel wie "wirkende Kraft" oder "das Treibende". Bei nahezu allen Vorgängen, welche in unserer Umwelt oder in der Technik ablaufen ist Energie im Spiel. In diesem Abschnitt soll es darum gehen, dich mit diesem Begriff vertraut zu machen. Dabei sind wir in einer ähnlichen Lage, als in der 7. Klasse der Kraftbegriff eingeführt wurde: Wir konnten nicht genau sagen, was Kraft ist, aber wir konnten die Wirkungen einer Kraft beschreiben. Der berühmte Nobelpreisträger R. Feynman sagt: "It is important to realize that in physics today, we have no knowledge of what energy is . . ." (es ist wichtig zu realisieren, dass wir in der heutigen Physik nicht wissen, was Energie ist . . . . ).

Energie ist notwendig, dass Vorgänge überhaupt ablaufen. Man könnte Energie als "Treibstoff" für den jeden Ablauf bezeichnen, wobei Energie nicht mit dem Benzin im Tank eines Autos verwechselt werden darf. Hier einige Beispiele, was Energie alles bewirken kann:

"Energie bewegt unsere Autos" "Energie brät ein Huhn" "Energie betreibt einen Fernsehapparat" "Energie kühlt unser Gefriergut" Energie hält uns am Leben

Wie die obigen Beispiele zeigen, kann Energie in verschiedenen Formen auftreten. In der folgenden Grafik werden verschiedene Energieformen aufgelistet und jeweils Beispiele angedeutet, wo sie eine Rolle spielen.

Hinweis: Prof. Harald Lesch beschäftigt sich in der Sendereihe alpha-centauri des bayerischen Rundfunks in einem sehr interessanten Video mit der Frage: "Was ist Energie?".

1 Abhängigkeit der potentiellen Energie von Höhe \(h\) und Masse \(m\)

Von welchen Größen hängt die potentielle Energie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe). Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst potentielle in kinetische Energie umgewandelt wird, kann man aus einer stärkeren Verformung des Kneteklumpens auch auf eine höhere potentielle Energie schließen.

Versuch 1: Man lässt einen Körper der Masse \(m\) aus der Höhe \(h\) auf einen Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man lässt den gleichen Körper (Masse \(m\)) aus der Höhe \(2 \cdot h\) auf den Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3: Man lässt einen Körper der Masse \(2 \cdot m\) aus der Höhe \(h\) auf den Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis: Die potentielle Energie (Lageenergie) eines Körpers nimmt mit dessen Höhe über einem Nullniveau und dessen Masse zu.

2 Quantitative Überlegungen zur Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Höhe
  • Hebt man die Kiste jeweils um ein Stockwerk an, so nimmt die potentielle Energie jeweils um eine Energieportion (EP) zu1.
  • Hebt man die Kiste um zwei (drei) Stockwerke an, so nimmt die potentielle Energie um zwei (drei) Energieportionen zu.

1Genau genommen sollte man nicht sagen, dass die potentielle Energie der Kiste zunimmt. Die Kiste befindet sich im Anziehungsbereich der Erde. Somit nimmt bei dem Vorgang eigentlich die potentielle Energie des Systems Kiste-Erde zu.

Verallgemeinert man diese Erkenntnisse, so kann man sagen:

Die Änderung der potentiellen Energie des Systems Erde-Körper ist proportional zum Höhenunterschied des Körpers über einem Bezugsniveau (hier: Parterre). Man schreibt:

\( \Delta E_h \sim \Delta h \)      bei festem \( F_g\)    (1)
3 Quantitative Überlegungen zur Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Masse
  • Hebt man zwei Kisten (Gewichtskraft jeweils Fg) um die Höhe Δh an, so nimmt die potentielle Energie des Systems um zwei Energieportionen (EP) zu.
  • Denkt man sich die zwei (drei) Kisten zu einer einzigen mit der Gewichtskraft \( 2 \cdot F_g \) \( ( 3 \cdot F_g ) \) verschmolzen, so nimmt bei deren Anhebung um die Höhe Δh die potentielle Energie des Systems ebenfalls um zwei (drei) Energieportionen (EP) zu.

Verallgemeinert man diese Erkenntnisse, so kann man sagen:

Die Änderung der potentiellen Energie des Systems Erde-Körpers ist proportional zur Gewichtskraft des stets um die gleich Höhe angehobenen Köpers. Man schreibt:

  \( \Delta E_h \sim F_g \)     bei festem \(\Delta h\)    (2)

Die Ergebnisse (1) und (2) lassen sich zu einer Proportionalität zusammenfassen:\[ \Delta E_h \sim F_g \cdot \Delta h \]Durch Einführen einer Proportionalitätskonstante C kann man die folgende Gleichung gewinnen:\[ \Delta E_h = C \cdot F_g \cdot \Delta h \]Die Einheiten der physikalischen Größen auf der linken und rechten Gleichungsseite wurden so gewählt, dass die Proportionalitätskonstante den Wert 1 hat. Somit gilt:

\( \Delta E_h = F_g \cdot \Delta h \)  oder   \( \Delta E_h = m \cdot g \cdot \Delta h \)

Für die Einheit der Energie ergibt sich aus dieser Formel: \( \left[ E_h \right] = 1 \mathrm{N \cdot m} \) oder auch \( \left[ E_h \right] = 1 \mathrm{kg \cdot \frac{m^2}{s^2}} \). In Erinnerung an den berühmten englischen Forscher James Joule wird die Energieeinheit auch als 1 J geschrieben.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur potentiellen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{pot}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}}}{ {m} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}\]nach \(\color{Red}{h}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}}{ {m} \cdot {g}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\).\[\color{Red}{h} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{h}\) aufgelöst.
5 Schrittweises Auflösen der Formel für die potentielle Energie nach den vier in der Formel auftretenden Größen
1 Abhängigkeit der kinetischen Energie von Geschwindigkeit \(v\) und Masse \(m\)

Von welchen Größen hängt die kinetische Energie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die kinetische Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe).

Versuch 1: Man lässt ein Spielzeugauto der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) auf einen Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man lässt das gleiche Auto (Masse \(m\)) mit der Geschwindigkeit \(2 \cdot v\) auf den Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3: Man lässt ein beladenes Spielzeugauto (Masse \(2 \cdot m\)) mit der Geschwindigkeit \(v\) auf den Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis: Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) eines Körpers nimmt mit dessen Geschwindigkeit und Masse zu.

Bei qualitativen Betrachtungen hast schon gelernt, dass die Bewegungsenergie (kinetische Energie) von der Masse des bewegten Körpers und dessen Geschwindigkeit abhängt. Nun soll der genaue quantitative Zusammenhang zwischen Ekin, m und v herausgefunden werden. Dies gelingt uns durch Verwendung der Formel für die potentielle Energie und des Energieerhaltungssatzes.

Man wählt dazu einen Versuch aus, bei dem z.B. - bei einem möglichst reibungsfreien Vorgang - potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird.

In den Animationen werden zwei Versuchsideen vorgestellt.

2 Quantitative Untersuchung zur Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit mit einer schiefen Ebene

1. Messreihe: Veränderung der Höhe, Gewichtskraft bleibt fest

Die Gewichtskraft Fg des Probekörpers bleibt fest, die Ausgangshöhe wird verändert und die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt gemessen.\[ h \sim v^2 \quad \Rightarrow \quad \text{wegen } F_g = const \quad \Rightarrow \quad F_g \cdot h \sim v^2 \quad \\ \\\Rightarrow E_{pot} \sim v^2 \qquad \text{wegen } E_{pot} = E_{kin} \text{ (Energieerhaltung)} \quad \\ \, \\\Rightarrow E_{kin} \sim v^2 \qquad \text{(1)} \]

3 Quantitative Untersuchung zur Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit mit einem Fadenpendel

2. Messreihe: Veränderung der Gewichtskraft, Höhe bleibt fest

Für die Abhängigkeit der Bewegungsenergie von der Masse, wird die Masse des Wagens bei gleicher Höhe verändert. Aus dem Versuch ergibt sich, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse des Wagens ist. Da bei unveränderter Höhe Eh ~ m ist, gilt auf Grund der Energieerhaltung auch:\[ E_{kin} \sim m \qquad \text{(2)} \]Aus (1) und (2) folgt\[ E_{kin} \sim m \cdot v^2 \quad \Rightarrow \quad E_{kin} = C \cdot m \cdot v^2 \]Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor C den Wert ½ hat.

Somit gilt für die kinetische Energie:

\[ E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Hinweis: Wenn du die genaue Durchführung der entsprechenden Versuche betrachten willst, so gehe z.B. zur folgenden Seite.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur kinetischen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden Animationen.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot {v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{kin}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2\]nach \(\color{Red}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{v}^2 = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {m}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst.
5 Schrittweises Auflösen der Formel für die kinetische Energie nach den drei in der Formel auftretenden Größen
1 Abhängigkeit der Spannenergie von Federdehnung \(s\) und Federhärte (Federkonstante) \(D\)

Von welchen Größen hängt die Spannenergie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe). Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst Spannenergie in kinetische Energie umgewandelt wird, kann man aus einer stärkeren Verformung des Kneteklumpens auch auf eine höhere Spannenergie schließen.

Versuch 1: Man lässt eine von einer gespannten Feder (Federhärte \(D\)) beschleunigte Kugel auf einen Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man spannt die gleiche Feder stärker vor und wiederholt Versuch 1.

Versuch 3: Nun tauscht man die bisherige Feder durch eine härtere Feder aus, spannt diese wie bei Versuch 1 vor und beobachtet die Eindringtiefe der Kugel in den Kneteklumpen.

Ergebnis: Die Spannenergie (Überbegriff: potentielle Energie) einer Feder ist umso größer, je stärker die Feder zusammengedrückt bzw. gespannt und je größer die Härte \(D\) der Feder ist.

Bei qualitativen Betrachtungen hast du schon gelernt, dass die Spannenergie (elastische Energie) von der Federhärte D und der Dehnung bzw. Stauchung der Feder s abhängt. Nun soll der genaue quantitative Zusammenhang zwischen Espann, D und s herausgefunden werden. Dies gelingt uns durch Verwendung der Formel für die potentielle Energie und des Energieerhaltungssatzes.

Man wählt dazu z.B. einen Versuch aus, bei dem - möglichst reibungsfrei - Spannenergie in potentielle Energie umgewandelt wird.

2 Quantitative Untersuchung der Abhängigkeit der Spannenergie von Federhärte und Federspannung

Eine an einer Schnur hängende Feder, deren Mitte mit einem Zeiger (rot) markiert ist, wird um die Strecke s gedehnt. Sie besitzt nun Spannenergie.
Lässt man die Feder los, so "schnalzt" diese in die Höhe (Hubhöhe h). Die gesamte anfängliche Spannenergie wurde bis zum Erreichen des höchsten Punktes in Lageenergie umgewandelt.

Ausführliche Überlegung zum Energiesatzes:\[ E_{pot,1} + E_{kin,1} + E_{spann,1} = E_{pot,2} + E_{kin,2} + E_{spann,2} \quad \Rightarrow \\ \\
E_{spann,1} = E_{pot,2} \qquad \text{oder "salopper":} \qquad E_{spann} = E_{pot} \qquad \text{(1)} \]

1. Messreihe:
Veränderung der Federdehnung s, Federhärte D und Federgewicht bleiben fest

\[ h \sim s^2 \]

mit konstantem Federgewicht:
\[ m \cdot g \cdot h \sim s^2 \quad \Rightarrow \quad E_{pot} \sim s^2 \]

Mit dem Energiesatz (1) folgt:

\[ E_{spann} \sim s^2 \qquad \text{(2)} \]

2. Messreihe:
Veränderung der Feder
härte D (verschiedene Federn), Federdehnung s bleibt fest

\[ m \cdot g \cdot h \sim D \quad \Rightarrow \quad E_{pot} \sim D \]

Mit dem Energiesatz (1) folgt:

\[ E_{spann} \sim D \qquad \text{(3)} \]

Aus (2) und (3) folgt:

\[ E_{spann} \sim D \cdot s^2 \]

Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor C den Wert ½ hat.

Somit gilt für die Spannenergie:

\[ E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 \]

Hinweis: Wenn du die genaue Durchführung eines entsprechenden Versuchs betrachten willst, so gehe z.B. zur folgenden Seite.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Spannenergie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot {s}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{Spann}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2\]nach \(\color{Red}{D}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{D} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{s}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{D}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2\]nach \(\color{Red}{s}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{s}^2 = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {D}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{s} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst.
5 Schrittweises Auflösen der Formel für die Spannenergie nach den drei in der Formel auftretenden Größen
1 Schrittweise Umwandlung von chemischer Energie in potentielle Energie

Bei nahezu allen Vorgängen in der Natur und Technik finden Energieumwandlungen statt. Der Erhaltungssatz der Energie sagt uns, dass dabei keine Energie verloren wird.

Allerdings ist es oft so, dass ein Teil der vorhandenen Energie nicht total in die gewünschte Energieform übergeht. Durch Reibung und ähnliche Prozesse kommt es fast immer zur Erwärmung von den beteiligten Objekten. Die dabei auftretende thermische Energie (in der Animation in Abb. 1 mit \({\Delta {E_i}}\) bezeichnet) steht dann meist nicht mehr für weitere Energieumwandlungen zur Verfügung.

In dem Beispiel in der Animation in Abb. 1 wird

die chemische Energie der Materialien in einer Batterie in elektrische Energie

diese elektrische Energie in einem Elektromotor in (mechanische) kinetische Energie eines Seils bzw. einer Rolle

diese kinetische Energie schließlich über die Winde in potentielle Energie einer Last

umgewandelt.

Die auftretenden Energieumwandlungen sind auch schematisch in einem Energieflussdiagramm dargestellt. Der prinzipielle Aufbau eines Energieflussdiagramms ist in Abb. 2 dargestellt.

3 Schrittweise Umwandlung von chemischer Energie in Lichtenergie

Die Animation in Abb. 3 zeigt einen anderen Energieumwandlungsprozess. Hier finden Energieumwandlungen in vier verschiedenen Prozessen/Bauteilen statt, die durch unterschiedliche Farben markiert sind. Achte dabei besonders auf die violette Markierung am rechten unteren Ende der Dampfmaschine.

Verständnisaufgabe

Fülle das Energieflussdiagramm aus der Animation in Abb. 3 sinnvoll aus.

Lösung

dampfmaschine generator lampe loesung
Abb.
4

Die chemische Energie des Brennstoffs (Kohle, Holz usw.) wird in der Feuerung der Dampfmaschine z.T. in thermische Energie des heißen Dampfes umgewandelt.

Die thermische Energie des heißen Dampfes wird in der Dampfmaschine z.T. in kinetische Energie der rotierenden Teile (Schwungrad, rotierende Spule im Generator usw.) umgewandelt.

Die kinetische Energie der rotierenden Generatorspule wird im Generator z.T. in elektrische Energie umgewandelt.

Die elektrische Energie wird durch die Lampe z.T. in Lichtenergie umgewandelt.

Bei der Bewegung des Skaters in der Halfpipe sieht man, dass zwei mechanische Energieformen abwechselnd ineinander umgewandelt werden:

  • Ganz links besitzt der Skater im Vergleich zu tiefer gelegenen Punkten der Bahn ein Maximum an Lageenergie (potentielle Energie), da er die größte Höhe über dem Nullniveau (h = 0) hat. Da seine Geschwindigkeit Null ist, besitzt er dort keine Bewegungsenergie (kinetische Energie).
  • Auf dem Weg zum tiefsten Punkt der Halfpipe (h = 0) verliert er an Lageenergie, da die Höhe laufend abnimmt und gewinnt an kinetischer Energie (v nimmt zu).
  • Im tiefsten Punkt ist seine Bewegungsenergie maximal, während seine Lageenergie Null ist.
  • Auf dem Weg nach ganz rechts gewinnt der Skater wieder an Lageenergie (h wächst) und verliert an Bewegungsenergie (v sinkt).
  • Ganz rechts besitzt der Skater im Vergleich zu tiefer gelegenen Punkten der Bahn ein Maximum an Lageenergie (potentielle Energie), da er die größte Höhe über dem Nullniveau (h = 0) hat. Weil seine Geschwindigkeit Null ist, hat er dort keine Bewegungsenergie (kinetische Energie).
1 Energieerhaltung (qualitativ) am Beispiel der Bewegung eines Skaters in einer Halfpipe

Wenn wir - idealisiert - davon ausgehen können, dass die Reibung durch die Luft und die Reibung in den Rollen vernachlässigbar ist, wird der Skater ohne eigenes Zutun ganz links und ganz rechts stets die gleichen Maximalwert der Höhe und in der Mitte den gleichen Wert der Maximalgeschwindigkeit erreichen. Wir könnten auch sagen, er erreicht links und rechts stets die gleiche Lageenergie (da diese wohl von der Höhe abhängt) und in der Mitte stets die gleiche Bewegungsenergie (da diese wohl von der Geschwindigkeit abhängt). Zwischen diesen ausgezeichneten Punkten besitzt der Skater sowohl Lageenergie als auch Bewegungsenergie.

Bei fehlender Reibung würde sich der Vorgang (Skater fährt in der Halfpipe vom höchsten linken Punkt zum höchsten rechten Punkt) ständig wiederholen. Es liegt also eine gewisse Konstanz in dem Vorgang. Die momentane Höhe und Geschwindigkeit des Skaters ändern sich dagegen ständig. Diejenige Größe die sich bei dem betrachteten Vorgang nicht ändert ist die Gesamtenergie des Skaters, die sich hier aus den beiden Anteilen Lageenergie und Bewegungsenergie zusammensetzt. Diese Tatsache formuliert man im sogenannten Energieerhaltungssatz der Mechanik.

Energieerhaltungssatz der Mechanik (Energiesatz)

In einem reibungsfreien, mechanischen System ist die Gesamtenergie zu jeder Zeit gleich, wenn es von außen nicht beeinflusst wird. Dabei kann die Gesamtenergie auf unterschiedliche mechanische Energieformen verteilt sein. Dieses Prinzip nennt man Energieerhaltung.

Mathematisch ausgedrückt gilt:\[E_{\rm{ges}}=E_{\rm{kin}}+E_{\rm{pot}}+E_{\rm{spann}}=\rm{konstant}\]

Die folgende Animation zeigt wiederum den Skater. Zusätzlich zur obigen Darstellung sind die potentielle und kinetische Energie in einem Balkendiagramm qualitativ dargestellt. Der rechte Balken deutet an, dass die Summe dieser beiden Energieformen eine Konstante ist.

2 Energieerhaltung (quantitativ) am Beispiel der Bewegung eines Skaters in einer Halfpipe

Hinweise

  • Das obige Beispiel stellt eine Idealisierung dar. Tatsächlich wird die mechanische Energie durch Reibung mit der Zeit immer weniger. Dafür erwärmen sich die Lager der Rollen, die Bahn usw. Man sagt die mechanische Energie geht mit der Zeit in thermische Energie (Oberbegriff: innere Energie) über.
  • Der Energieerhaltungssatz gilt ganz allgemein, also nicht nur für mechanische Energien. Bis heute ist kein Vorgang in der Natur bekannt bei dem der Energieerhaltungssatz verletzt ist.
  • Der Energiesatz gilt nur dann, wenn keine Beeinflussung des betrachteten Systems von außen passiert. Man sagt auch das System muss abgeschlossen sein. Sie hierzu auch das Thema Energieumwandlung.
  • Beim Energiesatz der Mechanik ist - je nach Problem - auch eine eventuelle Spannenergie zu berücksichtigen. Siehe hierzu die Musteraufgabe zum Trampolinspringer.
Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

Arbeit als Energietransfer

Die Energie in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten, wenn dem System von außen keine Energie zugeführt wird bzw. vom System keine Energie nach außen abgegeben wird. Wird dem System jedoch von außen mechanisch Energie zugeführt oder gibt das System mechanisch Energie ab, so wird aus physikalischer Sicht Arbeit verrichtet.
Die Arbeit wird mit dem Formelzeichen \(W\) für das englische "work" bezeichnet.

Aus dieser Festlegung der Arbeit folgt, dass der Betrag der verrichteten Arbeit der Betragsänderung der Energie des Systems entspricht: \(\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\)

1 Veränderung \(\Delta E\) der Energie von Systemen, wenn an ihnen Arbeit \(W\) verrichtet wird (links) oder sie selbst Arbeit \(W\) verrichten (rechts)

Die linke Animation zeigt, wie einem System von außen Energie \(\Delta E\) zugeführt wird; am System wird dabei die Arbeit \(W\) verrichtet. Die rechte Animation zeigt, wie ein System die Energie \(\Delta E\) abgibt; das System verrichtet dabei die Arbeit \(W\).

Das Vorzeichen der Arbeit

  • Wird am System Arbeit verrichtet, so ist der Wert der Arbeit \(W\) positiv ( \(W>0\) ), da die Energie des Systems zunimmt, also \(\Delta E\) positiv ist.

  • Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\), da die Energie des Systems abnimmt, also \(\Delta E\) negativ ist.

  • Die physikalische Einheit der Arbeit ist gleich der Einheit der Energie, nämlich das Joule: \([W] = 1\rm{J}\).

Mögliche Modellvorstell: Energie und Arbeit werden manchmal mit Begriffen aus dem Bereich der Wirtschaft verglichen. Wird von einem Konto auf ein anderes Konto Geld überwiesen, so entspricht der Änderung des Kontostandes die Energieänderung, dem Überweisungsbetrag entspricht die Arbeit.

Die physikalische Arbeit

Es wird physikalische Arbeit \(W\) verrichtet, wenn eine Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(s\) wirkt. Es gilt \[W=F_\rm{s}\cdot s\;\rm{mit}\;[\rm{W}] = 1 Nm = 1 J\] Dabei ist \(s\) der zurückgelegte Weg und \(F_\rm{s}\) der Betrag der Kraft in Bewegungsrichtung.

Hinweise zur Arbeit mit der Formel

  • Wirkt die Kraft \(\vec F\) nicht längs des Weges \(s\), so ist für die Arbeitsberechnung nur die Kraftkomponente \(\vec F_\rm{s}\) in Wegrichtung einzusetzen.

  • Wirkt die Kraft \(\vec F\) senkrecht zur Wegrichtung, so wird keine Arbeit verrichtet und es gilt \(W=0\)

  • Ändert sich der Betrag \(\vec F\) der Kraft längs des Weges \(s\), so ist obige Formel nicht anwendbar.

Verschiedene Typen der Arbeit und ihre Berechnung

2 Relevante Größen zur Berechnung der Hubarbeit und Darstellung der Hubarbeit im Arbeitsdiagramm

Hubarbeit

Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Hub}}\), die man beim Anhegen eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,nach}}\) des Körpers am Ende des Hubvorgangs und der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,vor}}\) des Körpers am Anfang des Hubvorgangs\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \Delta h}\]Um den Sack in der Animation in Abb. 2 nach oben zu ziehen, muss du Hubarbeit verrichten. Dazu ziehst du mit der Kraft \({{\vec F_{\rm{a}}}} \) am Seil. Diese Kraft ist die Kraft in Wegrichtung, also \( {{\vec F_{\rm{a}}}} =  {{\vec F_{\rm{s}}}}\).

Nun hebt sich der Sack um die Strecke \({\Delta h}\), während das Seil in deinen Händen die Strecke \({\Delta s}\) zurücklegt. Diese beiden Strecken sind natürlich gleich lang, also gilt \({\Delta h = \Delta s}\).

Da aufgrund der Kontruktion mittels Umlenkrolle der Betrag von \( {{\vec F_{\rm{g}}}} \) gleich dem Betrag von \( {{\vec F_{\rm{s}}}} \) ist, gilt auch\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = {F_{\rm{G}} \cdot \Delta h}={F_{\rm{s}} \cdot \Delta s}}\]

3 Relevante Größen zur Bestimmung der Arbeit beim Beschleunigen eines Autos

Beschleunigungsarbeit

Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Beschleunigung}}\), die man beim Beschleunigen eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,nach}}\) des Körpers am Ende des Beschleunigungsvorgangs und der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,vor}}\) des Körpers am Anfang des Beschleunigungsvorgangs \[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{kin,nach}}}} - {E_{{\rm{kin,vor}}}} = \frac{1}{2}m \cdot \left( {v_{{\rm{nach}}}^2 - v_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]In der Animation in Abb. 3 wird ein Auto mit der Masse \(m\) ausgehend von der Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{vor}}\) konstant beschleunigt, bis es nach der Strecke \(\Delta s\) die Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{nach}} \) erreicht. Bei der Beschleunigung soll der Einfachheit halber eine konstante Kraft \(\vec F_{\rm{s}} \) längs der Strecke \(\Delta s\). So kann man für die Beschleunigungsarbeit auch schreiben\[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = {F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]

4 Relevante Größen zur Berechnung der Spannarbeit und Darstellung der Spannarbeit im Arbeitsdiagramm

Spannarbeit

Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Spann}}\), die man beim Spannen einer Feder aufbringen muss, als Differenz der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,nach}}\) der Feder am Ende des Spannvorgangs und der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,vor}}\) der Feder am Anfang des Spannvorgangs\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{Spann,nach}}}} - {E_{{\rm{Spann,vor}}}} = \frac{1}{2}D \cdot \left( {s_{{\rm{nach}}}^2 - s_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]Wenn wie in der Animation in Abb. 4 eine Feder aus ihrer Ruhelage (Ruhelänge) heraus gespannt wird, also \({{s_{\rm{vor}}} = 0}\) ist, so gilt \[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\] Achtung, dabei ist \[{W_{\rm{Spann}}} \ne {F_{\rm{s}}} \cdot s\] da sich der Betrag der Kraft \(\vec F\) während des Spannens längs des Weges ändert. Berechnet man die Fläche unter der Weg-Kraft-Kurve (Dreiecksfläche), so ergibt sich\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}{F_{\rm{s}}} \cdot s = \frac{1}{2}(D \cdot s) \cdot s = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\]