Arbeit, Energie und Leistung

Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung

  • Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Kraft?
  • Woher kommt und wohin geht eigentlich die ganze Energie?
  • Kann man mit einem Fahrrad einen Liter Wasser zum Kochen bringen?

Der Begriff "Energie" oder von ihm abgeleitete Begriffe kommen in unserer Sprache sehr häufig vor und weisen schon auf die große Bedeutung dieses Begriffes hin. Hier nur einige Beispiele:

Heizenergie, Energiekrise, Energiereservoir, kriminelle Energie, Energiesparen, Kernenergie, energiegeladen, Energiequelle, Energieverlust, Energieriegel. . . .

Der griechische Ursprung des Wortes "Energie" ist "energeia" und bedeutet soviel wie "wirkende Kraft" oder "das Treibende". Bei nahezu allen Vorgängen, welche in unserer Umwelt oder in der Technik ablaufen ist Energie im Spiel. In diesem Abschnitt soll es darum gehen, dich mit diesem Begriff vertraut zu machen. Dabei sind wir in einer ähnlichen Lage, als in der 7. Klasse der Kraftbegriff eingeführt wurde: Wir konnten nicht genau sagen, was Kraft ist, aber wir konnten die Wirkungen einer Kraft beschreiben. Der berühmte Nobelpreisträger R. Feynman sagt: "It is important to realize that in physics today, we have no knowledge of what energy is . . ." (es ist wichtig zu realisieren, dass wir in der heutigen Physik nicht wissen, was Energie ist . . . . ).

Energie ist notwendig, dass Vorgänge überhaupt ablaufen. Man könnte Energie als "Treibstoff" für den jeden Ablauf bezeichnen, wobei Energie nicht mit dem Benzin im Tank eines Autos verwechselt werden darf. Hier einige Beispiele, was Energie alles bewirken kann:

"Energie bewegt unsere Autos" "Energie brät ein Huhn" "Energie betreibt einen Fernsehapparat" "Energie kühlt unser Gefriergut" Energie hält uns am Leben

Wie die obigen Beispiele zeigen, kann Energie in verschiedenen Formen auftreten. In der folgenden Grafik werden verschiedene Energieformen aufgelistet und jeweils Beispiele angedeutet, wo sie eine Rolle spielen.

Hinweis: Prof. Harald Lesch beschäftigt sich in der Sendereihe alpha-centauri des bayerischen Rundfunks in einem sehr interessanten Video mit der Frage: "Was ist Energie?".

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) ist proportional zu seiner Höhe über einem definierten Nullniveau.
  • Die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) eines Körpers in fester Höhe \(h\) ist proportional zu seiner Gewichtskraft \(F_g\).
  • Für die Änderung der potentiellen Energie gilt: \(\Delta E_{\rm{pot}} = F_g \cdot \Delta h =m \cdot g\cdot \Delta h\)
  • Die Einheit der potentiellen Energie ist Joule: \(\left[ E_{\rm{kin}} \right] =1\,\rm{J}\)
1 Abhängigkeit der potentiellen Energie von Höhe \(h\) und Masse \(m\)
Von welchen Größen hängt die potentielle Energie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe).

Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst potentielle Energie (Höhenenergie) in kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgewandelt wird, kannst du aus einer stärkeren Verformung des Kneteklumpens auch auf eine höhere potentielle Energie schließen.

Versuch 1: Man lässt einen Körper der Masse \(m\) aus der Höhe \(h\) auf einen Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man lässt den gleichen Körper (Masse \(m\)) aus der Höhe \(2 \cdot h\) auf den Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3: Man lässt einen Körper der Masse \(2 \cdot m\) aus der Höhe \(h\) auf den Kneteklumpen fallen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis: Die potentielle Energie (Höhenenergie/Lageenergie) eines Körpers nimmt mit dessen Höhe über einem Nullniveau und dessen Masse zu.

2 Quantitative Überlegungen zur Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Höhe
Zusammenhang von Höhenänderung und potentieller Energie

Die Animation in Abb. 2 zeigt folgenden Sachverhalt:

  • Hebst du die Kiste jeweils um ein Stockwerk an, so nimmt die potentielle Energie jeweils um eine Energieportion (EP) zu.
  • Hebst du die Kiste um zwei (drei) Stockwerke an, so nimmt die potentielle Energie um zwei (drei) Energieportionen zu.

Verallgemeinerst du diese Erkenntnisse, so kannst du sagen:
Die Änderung der potentiellen Energie ist proportional zur Änderung der Höhe des Körpers im Vergleich zu einem definierten Nullniveau (als Nullniveau wurde hier das Parterre (Erdgeschoss) gewählt).

Man schreibt: \[\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{\Delta E_{\rm{pot}} \sim \Delta h\qquad\text{bei fester Gewichtskraft }F_g\qquad(1)}\]

Genau genommen solltest du nicht sagen, dass die potentielle Energie der Kiste zunimmt. Die Kiste befindet sich im Anziehungsbereich der Erde. Somit nimmt bei dem Vorgang eigentlich die potentielle Energie des Systems Kiste-Erde zu.

3 Quantitative Überlegungen zur Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Masse
Zusammenhang von Gewichtskraft und potentieller Energie

Die Animation in Abb. 3 zeigt folgenden Sachverhalt:

  • Hebst du zwei Kisten (Gewichtskraft jeweils \(F_g\)) um die Höhe \(\Delta h\) an, so nimmt die potentielle Energie des Systems um zwei Energieportionen (EP) zu.
  • Denkst du dir die zwei (drei) Kisten zu einer einzigen Kiste mit der Gewichtskraft \( 2 \cdot F_g \) \( ( 3 \cdot F_g ) \) verschmolzen, so nimmt bei deren Anhebung um die Höhe \(\Delta h\) die potentielle Energie des Systems ebenfalls um zwei (drei) Energieportionen (EP) zu.

Verallgemeinerst du diese Erkenntnisse, so kannst du sagen:
Die Änderung der potentiellen Energie des Systems Erde-Körpers ist proportional zur Gewichtskraft des stets um die gleich Höhe angehobenen Köpers.

Man schreibt: \[\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{\Delta E_{\rm{pot}} \sim \Delta F_g\qquad\text{bei fester Höhenänderung }\Delta h\qquad(2)}\]

Zusammenführen der Erkenntnisse

Die Ergebnisse (1) und (2) kannst du zu einer Proportionalität zusammenfassen:\[ \Delta E_h \sim F_g \cdot \Delta h \]Durch Einführen einer Proportionalitätskonstanten \(C\) kannst du die folgende Gleichung gewinnen:\[ \Delta E_h = C \cdot F_g \cdot \Delta h \]Die Einheiten der physikalischen Größen auf der linken und rechten Gleichungsseite wurden so gewählt, dass die Proportionalitätskonstante \(C\) gerade den Wert \(1\) hat.

Potentielle Energie (Höhenenergie, Lageenergie)

Somit gilt für die Änderung der potentiellen Energie (Höhenenergie, Lageenergie) beim Anheben um \(\Delta h\):

\( \Delta E_{\rm{pot}} = F_g \cdot \Delta h \)  oder   \( \Delta E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot \Delta h \)

Für die Einheit der Energie ergibt sich aus dieser Formel:

\(\left[ E_{\rm{pot}} \right] = 1\,\rm{N \cdot m}\)   bzw.   \( \left[ E_{\rm{pot}} \right] = 1\,\rm{kg \cdot \frac{m^2}{s^2}} \).

In Erinnerung an den berühmten englischen Forscher James Joule wird die Energieeinheit auch als \(1\,\rm{J}\) für Joule geschrieben:\[\left[ E_{\rm{pot}} \right] = 1\,\rm{N \cdot m}=1\,\rm{J}\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur potentiellen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{pot}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{m} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {m} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}}}{ {m} \cdot {h}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {h}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{pot}}} = {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}\]nach \(\color{Red}{h}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h} = {E_{\rm{pot}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {m} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {m} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}}{ {m} \cdot {g}} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {m} \cdot {g}\).\[\color{Red}{h} = \frac{{E_{\rm{pot}}}}{ {m} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{h}\) aufgelöst.
4 Schrittweises Auflösen der Formel für die potentielle Energie nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers hängt von seiner Masse \(m\) und seiner Geschwindigkeit \(v\) ab.
  • Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) ist proportional zur Masse \(m\) und proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, also \(v^2\).
  • Für die kinetische Energie eines Körpers gilt: \(E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\).
  • Die Einheit der kinetischen Energie ist Joule: \(\left[ E_{\rm{kin}} \right] =1\,\rm{J}\)
1 Abhängigkeit der kinetischen Energie von Geschwindigkeit \(v\) und Masse \(m\)
Von welchen Größen hängt die kinetische Energie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die kinetische Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe).

Versuch 1: Man lässt ein Spielzeugauto der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) auf einen Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man lässt das gleiche Auto (Masse \(m\)) mit der Geschwindigkeit \(2 \cdot v\) auf den Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 3: Man lässt ein beladenes Spielzeugauto (Masse \(2 \cdot m\)) mit der Geschwindigkeit \(v\) auf den Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Ergebnis: Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers nimmt mit dessen Geschwindigkeit \(v\) und dessen Masse \(m\) zu.

Ermitteln eines formelmäßigen Zusammenhangs

Nun soll der genaue formelmäßige (in der Fachsprache: quantitative) Zusammenhang zwischen kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\), Masse \(m\) und Geschwindigkeit \(v\) eines Körpers herausgefunden werden. Dies gelingt durch Verwendung der Formel für die potentielle Energie und des Energieerhaltungssatzes.

Du wählst einen Versuch aus, bei dem durch einen möglichst reibungsfreien Vorgang potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird:

Da die kinetische Energie eines Körpers von zwei Größen anhängt, sind dabei zwei Messreihen notwendig, Die folgende Animation in Abb. 2 zeigt, wie du eine (sehr kleine) Messreihe zum Einfluss der Geschwindigkeit aufnehmen kannst.

2 Quantitative Untersuchung zur Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit mit einem Fadenpendel
Einfluss der Geschwindigkeit \(v\)

Um den Zusammenhang von der Geschwindigkeit \(v\) mit \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers zu untersuchen, nimmst du eine Messreihe auf, bei der die Ausgangshöhe \(h\) des Körpers verändert wird. Die Gewichtskraft \(F_g\) bleibt fest.

Im Versuch in Abb. 2 bleibt die Gewichtskraft \(F_g\) des Probekörpers in den Versuchen 1 und 2 gleich, die Ausgangshöhe \(h\) wird verändert und die Geschwindigkeit \(v\) im tiefsten Punkt gemessen. Es zeigt sich: \[ h \sim v^2 \quad \Rightarrow \quad \text{wegen } F_g = const \quad \Rightarrow \quad F_g \cdot h \sim v^2 \quad \\ \\\Rightarrow E_{pot} \sim v^2 \qquad \text{wegen } E_{pot} = E_{kin} \text{ (Energieerhaltung)} \quad \\ \, \\\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{\Rightarrow E_{kin} \sim v^2 \qquad \text{(1)}} \]

Einfluss der Masse \(m\)

Um den Zusammenhang zwischen der Masse \(m\) eines Körpers und \(E_{\rm{kin}}\) zu untersuchen nimmst du eine 2. Messreihe auf (in der Animation nicht gezeigt!), bei der die Masse \(m\) des Körpers verändert wird. Die Ausgangshöhe \(h\) bleibt fest.

Im Versuch muss die Masse \(m\) der Kugel (bzw. des Wagens) bei gleicher Höhe verändert werden. Aus dem Versuch ergibt sich, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse der Kugel ist. Da bei unveränderter Höhe \(E_{\rm{pot}}\sim m\) ist, gilt auf Grund der Energieerhaltung auch:\[ \bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{E_{kin} \sim m \qquad \text{(2)}}\]

Zusammenführen der Erkenntnisse

Aus den beiden Beziehungen (1) und (2) folgt\[ E_{kin} \sim m \cdot v^2 \quad \Rightarrow \quad E_{kin} = C \cdot m \cdot v^2 \]Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor \(C\) den Wert \(\frac{1}{2}\) hat.

Kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Somit gilt für die kinetische Energie (Bewegungsenergie) \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers mit der Masse \(m\) und der Geschwindingkeit \(v\):\[ E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]Die Einheit der kinetischen Energie entspricht der Einheit der potentiellen Energie, also \(\left[ E_{\rm{kin}} \right]=1\,\rm{J}\). Die Einheit ergibt sich dabei auch aus der Formel für die kinetische Energie\[\left[ E_{\rm{kin}} \right] = 1\,\rm{kg \cdot \frac{m^2}{s^2}}=1\,\rm{J}\]

Alternative Experimente zur Herleitung

Alternativ zum Experiment mit dem Fadenpendel kann auch ein Waagen auf einer schiefen Ebene (siehe "Newton-Wagen") oder auf einer Luftkissenbahn (siehe "Energieerhaltungssatz Feder") genutzt werden. Ein weiteres Experiment mit ausführliche Beschreibung der Durchführung findest du z.B. unter "Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit".

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur kinetischen Energie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden Animationen.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot {v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{kin}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{m}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{m} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {v}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{m} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {v}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{m}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{kin}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2\]nach \(\color{Red}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2 = {E_{\rm{kin}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {m} \cdot \color{Red}{v}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}} = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {m}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {m}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{v}^2 = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {m}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{kin}}}}{{m}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst.
3 Schrittweises Auflösen der Formel für die kinetische Energie nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Spannenergie kann in einem elastischen Körpern wie einer Feder oder einem Gummiseil gespeichert sein.
  • Die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) hängt von der Dehnung bzw. Stauchung \(s\) der Feder und der Federhärte \(D\)  ab.
  • Für die Spannenergie gilt: \(E_{\rm{Spann}}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2\).
1 Abhängigkeit der Spannenergie von Federdehnung \(s\) und Federhärte (Federkonstante) \(D\)
Von welchen Größen hängt die Spannenergie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe). Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst Spannenergie in kinetische Energie umgewandelt wird, kann man aus einer stärkeren Verformung des Kneteklumpens auch auf eine höhere Spannenergie schließen.

Versuch 1: Man lässt eine von einer gespannten Feder (Federhärte \(D\)) beschleunigte Kugel auf einen Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man spannt die gleiche Feder stärker vor und wiederholt Versuch 1.

Versuch 3: Nun tauscht man die bisherige Feder durch eine härtere Feder aus, spannt diese wie bei Versuch 1 vor und beobachtet die Eindringtiefe der Kugel in den Kneteklumpen.

Ergebnis: Die Spannenergie (Überbegriff: potentielle Energie) einer Feder ist umso größer, je stärker die Feder zusammengedrückt bzw. gespannt und je größer die Härte \(D\) der Feder ist.

Ermitteln des formelmäßigen Zusammenhangs

Nun soll der genaue formelmäßige (in der Fachsprache: quantitative) Zusammenhang zwischen Spannenergie \(E_{\rm{spann}}\), Federhärte \(D\) und der Dehnung bzw. Stauchung \(s\) der Feder herausgefunden werden. Dies gelingt durch Verwendung der Formel für die potentielle Energie und des Energieerhaltungssatzes.

Du wählst dazu einen Versuch wie in Abb. 2 aus, bei dem Spannenergie möglichst reibungsfrei in potentielle Energie umgewandelt wird.

Da die Spannenergie von zwei Größen abhängt, musst du auch zwei Messreihen aufnehmen, in der du jeweils eine Größe variierst und alle anderen Größen konstant hältst.

2 Quantitative Untersuchung der Abhängigkeit der Spannenergie von Federhärte und Federspannung
Versuchsidee

Du dehnst eine an einer Schnur hängende Feder, deren Mitte mit einem Zeiger (rot) markiert ist, um die Strecke \(s\). Die Feder besitzt nun Spannenergie.
Lässt du die Feder los, so "springt" diese um die Höhe \(h\) nach oben. Am höchsten Punkt ist die gesamte anfängliche Spannenergie in Höhenenergie umgewandelt worden.
Formelmäßig gilt also \[E_{\text{Spann,vorher}} = E_{\text{pot,nachher}} \qquad \text{oder "salopper":} \qquad E_{Spann} = E_{pot} \qquad \text{(1)} \]

Einfluss der Dehnung \(s\)

Um den Zusammenhang zwischen der Dehnung \(s\) der Feder und \(E_{\rm{Spann}}\) zu untersuchen, nimmst du eine Messreihe auf, bei der du die Dehnung \(s\) der Feder veränderst, aber nicht die Federhärte \(D\) und die Federmesse.

Es zeigt sich, dass \[h \sim s^2\]ist. Da die Federmasse \(m\) und der Ortsfaktor \(g\) konstant waren, gilt auch:\[ m \cdot g \cdot h \sim s^2 \quad \Rightarrow \quad E_{\rm{pot}} \sim s^2 \]Mit dem Energiesatz (1) folgt:\[ \bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{E_{\rm{Spann}} \sim s^2 \qquad \text{(2)}} \]

Einfluss der Federhärte \(D\)

Nun veränderst du Federhärte \(D\) durch die Nutzung verschiedener Federn, aber dehnst diese jeweils um die gleiche Strecke \(s\). Es zeigt sich:\[ m \cdot g \cdot h \sim D \quad \Rightarrow \quad E_{pot} \sim D \]Mit dem Energiesatz (1) folgt:\[\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{E_{\rm{Spann}} \sim D \qquad \text{(3)}}\]

Zusammenführen der Erkenntnisse

Aus (2) und (3) folgt: \[ E_{\rm{Spann}} \sim D \cdot s^2\quad\Rightarrow\quad E_{\rm{Spann}} =C\cdot D \cdot s^2 \] Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor \(C\) wiederum den Wert \(\frac{1}{2}\) hat.

Spannenergie

Somit gilt für die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) einer Feder mit der Federhärte \(D\) und der Dehnung \(s\):\[ E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 \]Die Einheit der Spannenergie entspricht der Einheit der potentiellen Energie, also \([E_{\rm{Spann}}]=1\,\rm{J}\).

Hinweis: Wenn du die genaue Durchführung eines ähnlichen Versuchs betrachten willst, so gehe zur Seite "Energieerhaltungssatz Feder".

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Spannenergie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot {s}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{Spann}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2\]nach \(\color{Red}{D}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{D} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{s}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{D}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2\]nach \(\color{Red}{s}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{s}^2 = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {D}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{s} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst.
5 Schrittweises Auflösen der Formel für die Spannenergie nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Energie kann zwischen verschiedenen Energieformen umgewandelt werden, z.B. von potentieller in kinetische Energie.
  • Bei einer Umwandlung geht jedoch zumeist ein kleiner Teil nicht in die gewünschte Energieform über und steht anschließend nicht mehr für weitere Umwandlungen zur Verfügung.
  • Finden mehrere Energieumwandlungen hintereinander statt, so werden diese häufig in einem Energieflussdiagrammen dargestellt.
1 Schrittweise Umwandlung von chemischer Energie in potentielle Energie

Bei nahezu allen Vorgängen in der Natur und Technik finden Energieumwandlungen statt. Der Erhaltungssatz der Energie sagt uns, dass dabei keine Energie verloren wird.

Allerdings ist es oft so, dass ein Teil der vorhandenen Energie nicht total in die gewünschte Energieform übergeht. Durch Reibung und ähnliche Prozesse kommt es fast immer zur Erwärmung von den beteiligten Objekten. Die dabei auftretende thermische Energie (in der Animation in Abb. 1 mit \({\Delta {E_i}}\) bezeichnet) steht dann meist nicht mehr für weitere Energieumwandlungen zur Verfügung.

In dem Beispiel in der Animation in Abb. 1 wird

die chemische Energie der Materialien in einer Batterie in elektrische Energie

diese elektrische Energie in einem Elektromotor in (mechanische) kinetische Energie eines Seils bzw. einer Rolle

diese kinetische Energie schließlich über die Winde in potentielle Energie einer Last

umgewandelt.

Die auftretenden Energieumwandlungensind auch schematisch in einem Energieflussdiagramm dargestellt.

Energieumwandlungen im Energieflussdiagramm

einfaches Energieflussdiagramm
Abb.
2
Grundstruktur eines Energieflussdiagramms

Der prinzipielle Aufbau eines Energieflussdiagramms ist in Abb. 2 dargestellt. Gelegentlich werden Energieflussdiagramm auch so gezeichnet, dass die Dicke der Pfeile den Anteilen der entsprechend umgewandelten Energien entspricht. Ein dicker Pfeil bedeutet entsprechend, dass ein großer Teil der Energie in diese Energieform umgewandelt wird, ein dünner Pfeil, dass nur wenig Energie in diese Form umgewandelt wird.

3 Schrittweise Umwandlung von chemischer Energie in Lichtenergie

Die Animation in Abb. 3 zeigt einen anderen Energieumwandlungsprozess. Hier finden Energieumwandlungen in vier verschiedenen Prozessen/Bauteilen statt, die durch unterschiedliche Farben markiert sind. Achte dabei besonders auf die violette Markierung am rechten unteren Ende der Dampfmaschine.

Verständnisaufgabe

Fülle das Energieflussdiagramm aus der Animation in Abb. 3 sinnvoll aus.

Lösung
dampfmaschine generator lampe loesung
Abb.
4

Die chemische Energie des Brennstoffs (Kohle, Holz usw.) wird in der Feuerung der Dampfmaschine z.T. in thermische Energie des heißen Dampfes umgewandelt.

Die thermische Energie des heißen Dampfes wird in der Dampfmaschine z.T. in kinetische Energie der rotierenden Teile (Schwungrad, rotierende Spule im Generator usw.) umgewandelt.

Die kinetische Energie der rotierenden Generatorspule wird im Generator z.T. in elektrische Energie umgewandelt.

Die elektrische Energie wird durch die Lampe z.T. in Lichtenergie umgewandelt.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • In einem reibungsfreien System bleibt die Gesamtenergie gleich, wenn es von außen nicht beeinflusst wird.
  • Mathematische kannst du die Energieerhaltung ausdrücken als \(E_{\rm{ges}}=E_{\rm{kin}}+E_{\rm{pot}}+E_{\rm{spann}}=\rm{konstant}\).
  • Dabei können sich die einzelnen Anteile der drei Energieformen fortlaufend ändern, wie z.B. bei einem Skater in der Halfpipe.

Zwei Energieformen in der Halfpipe

Bei der Bewegung des Skaters in der Halfpipe sieht man, dass zwei mechanische Energieformen abwechselnd ineinander umgewandelt werden:

  • Ganz links besitzt der Skater im Vergleich zu tiefer gelegenen Punkten der Bahn ein Maximum an Lageenergie (potentielle Energie), da er die größte Höhe über dem Nullniveau (h = 0) hat. Da seine Geschwindigkeit Null ist, besitzt er dort keine Bewegungsenergie (kinetische Energie).
  • Auf dem Weg zum tiefsten Punkt der Halfpipe (h = 0) verliert er an Lageenergie, da die Höhe laufend abnimmt und gewinnt an kinetischer Energie (v nimmt zu).
  • Im tiefsten Punkt ist seine Bewegungsenergie maximal, während seine Lageenergie Null ist.
  • Auf dem Weg nach ganz rechts gewinnt der Skater wieder an Lageenergie (h wächst) und verliert an Bewegungsenergie (v sinkt).
  • Ganz rechts besitzt der Skater im Vergleich zu tiefer gelegenen Punkten der Bahn ein Maximum an Lageenergie (potentielle Energie), da er die größte Höhe über dem Nullniveau (h = 0) hat. Weil seine Geschwindigkeit Null ist, hat er dort keine Bewegungsenergie (kinetische Energie).
1 Energieerhaltung (qualitativ) am Beispiel der Bewegung eines Skaters in einer Halfpipe

Gleiche Höhen vorher und nachher

Wenn wir die Reibung durch die Luft und die Reibung in den Rollen vernachlässigen, erreicht der Skater ohne eigenes Zutun ganz links und ganz rechts stets die gleiche Höhe. Der Skater besitzt also links und rechts stets die gleiche Lageenergie, da diese von der Höhe abhängt. In der Mitte hat der Skater stets die gleiche Maximalgeschwindigkeit. Der Skater als am tiefsten Punkt stets die gleiche Bewegungsenergie. Zwischen diesen ausgezeichneten Punkten besitzt der Skater sowohl Lageenergie als auch Bewegungsenergie.

Die Gesamtenergie bleibt gleich

Bei fehlender Reibung würde sich die Bewegung des Skaters ständig wiederholen. Es liegt also eine gewisse Konstanz in dem Vorgang. Die momentane Höhe und Geschwindigkeit des Skaters ändern sich jedoch ständig. Diejenige Größe, die sich bei dem betrachteten Vorgang nicht ändert, ist die Gesamtenergie des Skaters. Die Gesamtenergie des Skaters setzt sich hier aus der Lageenergie und der Bewegungsenergie zusammen. Diese Tatsache formuliert man im sogenannten Energieerhaltungssatz der Mechanik.

Energieerhaltungssatz der Mechanik (Energiesatz)

In einem reibungsfreien, mechanischen System ist die Gesamtenergie zu jeder Zeit gleich, wenn es von außen nicht beeinflusst wird. Dabei kann die Gesamtenergie auf unterschiedliche mechanische Energieformen verteilt sein. Dieses Prinzip nennt man Energieerhaltung.

Mathematisch ausgedrückt gilt:\[E_{\rm{ges}}=E_{\rm{kin}}+E_{\rm{pot}}+E_{\rm{spann}}=\rm{konstant}\]

Der Ausdruck \(E_{\rm{spann}}\) im Energiesatz bezeichnet dabei die Spannenergie. Diese muss z.B. bei einem Trampolinspringer berücksichtigt werden, wenn die Federn des Trampolins gespannt sind und so in den Federn Energie gespeichert ist.

Energieerhaltung beim Skater in der Halfpipe

Die folgende Animation zeigt wiederum den Skater. Zusätzlich zur obigen Darstellung sind die potentielle und kinetische Energie in einem Balkendiagramm qualitativ dargestellt. Der rechte Balken deutet an, dass die Summe dieser beiden Energieformen eine Konstante ist.

2 Energieerhaltung (quantitativ) am Beispiel der Bewegung eines Skaters in einer Halfpipe

Grenzen des Energiesatzes

Das obige Beispiel stellt eine Idealisierung dar. In der Praxis wird die mechanische Energie des Skaters durch Reibung mit der Zeit immer weniger. Dafür erwärmen sich die Lager der Rollen, die Bahn usw. Man sagt: die mechanische Energie geht mit der Zeit in thermische Energie über.
Weiter gilt der Energiesatz nur dann, wenn keine Beeinflussung des betrachteten Systems von außen passiert. Man sagt auch das System muss abgeschlossen sein.

Allgemeingültigkeit des Energiesatzes

Der Energieerhaltungssatz gilt nicht nur für mechanische Energien sondern ganz allgemein. Bis heute ist kein Vorgang in der Natur bekannt, der den Energieerhaltungssatz verletzt.

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Betrag der verrichteten Arbeit \(W\) entspricht dem Betrag \(\Delta E\), um den sich die Energie eines Systems bei einem Vorgang verändert.
  • Allgemein gilt für die Arbeit \(W=E_{\rm{nachher}}-E_{\rm{vorher}}\).
  • Wenn eine konstante Kraft mit dem Betrag \(F_{\rm{s}}\) längs eines Weges \(s\) wirkt, so wird die Arbeit \(W=F_{\rm{s}}\cdot s\) verrichtet.
  • Wichtige Typen der Arbeit sind: Hubarbeit, Beschleunigungsarbeit, Spannarbeit und Reibarbeit. 

Arbeit als Änderung der Energie eines Systems

Entsprechend dem Energieerhaltungssatz bleibt die Energie eines abgeschlossenen Systems erhalten. Wird dem System jedoch von außen Energie zugeführt oder gibt das System Energie ab, so ändert sich die Gesamtenergie des Systems. Aus physikalischer Sicht wird Arbeit verrichtet. Die Arbeit wird mit dem Formelzeichen \(W\) für das englische "work" bezeichnet. Der Betrag der verrichteten Arbeit entspricht dabei der Betragsänderung der Energie des Systems: \(\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\).

Beispiel: Hebst du ein Buch vom Boden auf und legst es auf einen Tisch, so hast du am System aus Buch und Tisch Arbeit verrichtet, da die Höhenenergie des Buches nun größer ist. Deine verrichtete Arbeit \(W\) berechnest du mithilfe von \(W=\Delta E=E_{\rm{nachher}}-E_{\rm{vorher}}\).

1 Veränderung \(\Delta E\) der Energie von Systemen, wenn an ihnen Arbeit \(W\) verrichtet wird (links) oder sie selbst Arbeit \(W\) verrichten (rechts)

Die linke Animation in Abb. 1 zeigt, wie einem System von außen Energie \(\Delta E\) zugeführt wird; am System wird dabei die Arbeit \(W\) verrichtet. Die rechte Animation zeigt, wie ein System die Energie \(\Delta E\) abgibt; das System verrichtet dabei die Arbeit \(W\).

Das Vorzeichen der Arbeit

  • Wird am System Arbeit verrichtet, so ist der Wert der Arbeit \(W\) positiv ( \(W>0\) ), da die Energie des Systems zunimmt, also \(\Delta E\) positiv ist.

  • Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\), da die Energie des Systems abnimmt, also \(\Delta E\) negativ ist.

  • Die physikalische Einheit der Arbeit ist gleich der Einheit der Energie, nämlich das Joule: \([W] = 1\rm{J}\).

Mögliche Modellvorstellung: Geld auf einem Konto ist "potentielle Energie". Wird von dem Konto Geld auf ein anderes Konto überwiesen, so entspricht die Änderung des Kontostandes der Energieänderung und der Betrag der Überweisung entspricht die Arbeit.

Die physikalische Arbeit

Es wird physikalische Arbeit \(W\) verrichtet, wenn eine Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(s\) wirkt. Es gilt \[W=F_{\rm{s}}\cdot s\;\rm{mit}\;[\rm{W}] = 1 Nm = 1 J\] Dabei ist \(s\) der zurückgelegte Weg und \(F_\rm{s}\) der Betrag der Kraft in Bewegungsrichtung.

Hinweise zur Arbeit mit der Formel

  • Wirkt die Kraft \(\vec F\) nicht längs des Weges \(s\), so ist für die Arbeitsberechnung nur die Kraftkomponente \(\vec F_\rm{s}\) in Wegrichtung einzusetzen.

  • Wirkt die Kraft \(\vec F\) senkrecht zur Wegrichtung, so wird keine Arbeit verrichtet und es gilt \(W=0\)

  • Ändert sich der Betrag \(\vec F\) der Kraft längs des Weges \(s\), so ist obige Formel nicht anwendbar.

Verschiedene Typen der Arbeit und ihre Berechnung

2 Relevante Größen zur Berechnung der Hubarbeit und Darstellung der Hubarbeit im Arbeitsdiagramm
Hubarbeit

Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Hub}}\), die man beim Anhegen eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,nach}}\) des Körpers am Ende des Hubvorgangs und der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,vor}}\) des Körpers am Anfang des Hubvorgangs\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \Delta h}\]Um den Sack in der Animation in Abb. 2 nach oben zu ziehen, muss du Hubarbeit verrichten. Dazu ziehst du mit der Kraft \({{\vec F_{\rm{a}}}} \) am Seil. Diese Kraft ist die Kraft in Wegrichtung, also \( {{\vec F_{\rm{a}}}} =  {{\vec F_{\rm{s}}}}\).

Nun hebt sich der Sack um die Strecke \({\Delta h}\), während das Seil in deinen Händen die Strecke \({\Delta s}\) zurücklegt. Diese beiden Strecken sind natürlich gleich lang, also gilt \({\Delta h = \Delta s}\).

Da aufgrund der Kontruktion mittels Umlenkrolle der Betrag von \( {{\vec F_{\rm{g}}}} \) gleich dem Betrag von \( {{\vec F_{\rm{s}}}} \) ist, gilt auch\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = {F_{\rm{G}} \cdot \Delta h}={F_{\rm{s}} \cdot \Delta s}}\]

3 Relevante Größen zur Bestimmung der Arbeit beim Beschleunigen eines Autos
Beschleunigungsarbeit

Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Beschleunigung}}\), die man beim Beschleunigen eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,nach}}\) des Körpers am Ende des Beschleunigungsvorgangs und der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,vor}}\) des Körpers am Anfang des Beschleunigungsvorgangs \[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{kin,nach}}}} - {E_{{\rm{kin,vor}}}} = \frac{1}{2}m \cdot \left( {v_{{\rm{nach}}}^2 - v_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]In der Animation in Abb. 3 wird ein Auto mit der Masse \(m\) ausgehend von der Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{vor}}\) konstant beschleunigt, bis es nach der Strecke \(\Delta s\) die Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{nach}} \) erreicht. Bei der Beschleunigung soll der Einfachheit halber eine konstante Kraft \(\vec F_{\rm{s}} \) längs der Strecke \(\Delta s\). So kann man für die Beschleunigungsarbeit auch schreiben\[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = {F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]

4 Relevante Größen zur Berechnung der Spannarbeit und Darstellung der Spannarbeit im Arbeitsdiagramm
Spannarbeit

Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Spann}}\), die man beim Spannen einer Feder aufbringen muss, als Differenz der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,nach}}\) der Feder am Ende des Spannvorgangs und der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,vor}}\) der Feder am Anfang des Spannvorgangs\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{Spann,nach}}}} - {E_{{\rm{Spann,vor}}}} = \frac{1}{2}D \cdot \left( {s_{{\rm{nach}}}^2 - s_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]Wenn wie in der Animation in Abb. 4 eine Feder aus ihrer Ruhelage (Ruhelänge) heraus gespannt wird, also \({{s_{\rm{vor}}} = 0}\) ist, so gilt \[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\] Achtung, dabei ist \[{W_{\rm{Spann}}} \ne {F_{\rm{s}}} \cdot s\] da sich der Betrag der Kraft \(\vec F\) während des Spannens längs des Weges ändert. Berechnet man die Fläche unter der Weg-Kraft-Kurve (Dreiecksfläche), so ergibt sich\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}{F_{\rm{s}}} \cdot s = \frac{1}{2}(D \cdot s) \cdot s = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\]