Ralf (\({m_{\rm{R}}} = 60\,{\rm{kg}}\)) geht mit seinem Bücherrucksack (\({m_{\rm{S}}} = 10\,{\rm{kg}}\)) zur Schule. In einer Sekunde macht er einen Doppelschritt mit \(2 \cdot 0{,}75\,{\rm{m}}\) nach vorne und hebt beim Gehen periodisch innerhalb eines Doppelschrittes die Gesamtmasse um ca. \(10\,\rm{cm}\) auf und ab.
Hinweis: Rechne mit \(g = 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).
a)
Berechne die mittlere Geschwindigkeit, mit der sich Ralf in Richtung Schule bewegt.
Untersuche, ob er die \(2{,}0\,\rm{km}\) entfernte Schule in einer halben Stunde erreicht.
b)
Berechne die Durchschnittsleistung \(P_{\rm{m}}\), die für das Heben um \(10\,\rm{cm}\) nötig ist.
Erläutere, was mit der potentiellen Energie beim Absenken um \(10\,\rm{cm}\) geschieht.
c)
Berechne die durchschnittliche Leistung, die Ralf für die Vorwärtsbewegung benötigt, wenn man für die nach vorne gerichtete Kraftkomponente \(20\,\rm{N}\) ansetzt.
Berechne damit die somit insgesamt aufzubringende Leistung.
Auch wenn Ralf sich nicht bewegt benötigt er Energie, um die körperlichen Funktionen (Atmung, Herz, Körpertemperatur) aufrecht zu erhalten. Für diesen Energiebedarf muss er täglich Nahrung aufnehmen, die eine Energie von ca. \(7-8\,\rm{MJ}\) enthält (dieser Grundumsatz führt ebenfalls zu einer Leistung von knapp \(100\,\rm{W}\)). Für seinen Schulweg braucht Ralf zusätzliche Energie. Er muss aber mehr Energie in Form von Nahrung aufnehmen, da nur ein Bruchteil der aufgenommenen Energie als Bewegungsenergie in den Beinen ankommt. Auch wenn der menschliche Stoffwechsel komplizierter ist, kann man vereinfachend annehmen, dass etwa \(25\%\) der aufgenommenen Energie in Nutzenergie umgewandelt wird.
d)
Berechne, welche zusätzliche Energie Ralf in Form von Nahrung für den Schulweg aufnehmen muss.
Berechne Ralfs spezifischen Energiebedarf in \(\frac{{{\rm{Wh}}}}{{{\rm{km}}}}\).
e)
Ein Mensch atmet etwa \(30\,\rm{g}\) CO2 pro Stunde aus.
Erläutere, ob das CO2, das Ralf auf dem Schulweg ausatmet, bei der vergleichenden Bilanz mit anderen Verkehrsmitteln berücksichtigt werden muss.
Berechnung der Geschwindigkeit:\[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow v = \frac{{2 \cdot 0,75}}{{1,0}}\frac{m}{s} = 1,5\frac{m}{s} = 5,4\frac{{km}}{h}\]Berechnung der Zeit für 2,0 km:\[v = \frac{{\Delta x*}}{{\Delta t*}} \Rightarrow \Delta t* = \frac{{\Delta x*}}{v} \Rightarrow \Delta t* = \frac{{2,0}}{{5.4}}\frac{{km}}{{{\textstyle{{km} \over h}}}} \approx 0,37\,h \approx 1,33 \cdot {10^3}s\]Ralf braucht weniger als eine halbe Stunde zur Schule.
b)
Berechnung der mittleren Hubleistung:\[\begin{array}{l}{P_m} = \frac{{\Delta {E_{pot}}}}{{\Delta t}} = \frac{{m \cdot g \cdot \Delta h}}{{\Delta t}} \Rightarrow \quad \\{P_m} = \frac{{\left( {60 + 10} \right) \cdot 10 \cdot 0,10}}{{1,0}}\frac{{kg \cdot {\textstyle{m \over {{s^2}}}} \cdot m}}{s} = 70\frac{{N \cdot m}}{s} = 70\,W\end{array}\]Die potentielle Energie beim Absenken wird durch Reibungsprozesse in thermische Energie umgewandelt.
c)
Bei konstanter Kraft F für die Vorwärtsbewegung kann man für die mittlere Leistung schreiben: \[{P_m}* = F \cdot v \Rightarrow {P_m}* = 20 \cdot 1,5\,{\rm N} \cdot \frac{m}{s} = 30\,W\]Insgesamt muss also eine mittlere Leistung von 70 W + 30 W = 100 W aufgebracht werden.
d)
Die "Maschine Mensch" hat einen Wirkungsgrad von 25%. Somit gilt für die aufzunehmende Leistung\[\eta = \frac{{{P_{nutz}}}}{{{P_{aufw}}}} \Rightarrow {P_{aufw}} = \frac{{{P_{nutz}}}}{\eta } \Rightarrow {P_{aufw}} = \frac{{100}}{{0,25}}W = 4,0 \cdot {10^2}W\]Da der Schulweg ca. 1,3·103 s dauert, gilt für die zusätzlich für den Schulweg aufzunehmende Energie\[\Delta {E_{aufw}} = {P_{aufw}} \cdot \Delta t* \Rightarrow \Delta {E_{aufw}} = 400 \cdot 1,33 \cdot {10^3}W \cdot s \approx 5,3 \cdot {10^5}J\]Hinweis: 100g Banane haben einen Nährwert von ca. 4·105 J, eine Tafel Schokolade von ca. 20·105 J.
Berechnung des spezifischen Energiebedarfs für den Schulweg in Wh/km:\[{E_S} = \frac{{\Delta {E_{aufw}}}}{{\Delta x*}} \Rightarrow {E_S} = \frac{{5,3 \cdot {{10}^5}}}{{2,0}}\frac{{Ws}}{{km}} = \frac{{5,3 \cdot {{10}^5}}}{{2,0 \cdot 3600}}\frac{{Wh}}{{km}} \approx 70\frac{{Wh}}{{km}}\]
e)
Ralf atmet auf dem Schulweg (Dauer ca. 0,37h) etwa 12g CO2 aus. Da dies aber auch beim Autofahren geschieht, kann man diese Kohlendioxidmenge beim Vergleich außer Acht lassen. Zum Vergleich: Ralf atmet pro Kilometer 6g Kohlendioxid aus; ein Auto produziert pro Kilometer 120g Kohlendioxid.
