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Aufgabe

Platzregen

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

An einem regnerischen Wochenende im Sommer 2017 fielen im Münchner Osten innerhalb kurzer Zeit so viel Regen, dass in allen Töpfen das Wasser 50 mm hoch stand.

a)Berechne, wie viele Liter pro Quadratmeter dies waren.

b)Die beregnete Fläche war ca. 30 km2 groß, die Wolken befanden sich in einer Höhe von ca. 1,5 km. Berechne, wie viel Energie bei diesem Platzregen insgesamt freigesetzt wurde.

c)Berechne, wie lange das Kernkraftwerk Isar II bei einer Leistung von \(P=1300\,\rm{MW}\) benötigt, um die gleiche Menge Energie bereitzustellen, die der Platzregen in b) hatte.

d)Regentropfen erreichen Fallgeschwindigkeiten in der Größenordnung von \(v_{\rm{Fall}}=10\,\rm{\frac{m}{s}}\). Berechne, wie groß ihre gesamte kinetische Energie war.

e)Vergleiche die Resultate von b) und d). Kommentiere das Ergebnis.

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a)Liter pro Quadratmeter:\[ V = A \cdot h = 1,0 \mathrm{m^2} \cdot 0,05 \mathrm{m} = 0,05 \mathrm{m^3} = 50\,\ell \]Die Niederschläge betragen \(50\,\rm{\frac{\ell}{m^2}}\)

b)Wassermasse auf 30 km2:\[ m = \rho \cdot V_{ges} = 1,0 \cdot 10^3 \mathrm{\frac{kg}{m^3}} \cdot 3,0 \cdot 10^7 \mathrm{m^2} \cdot 0,05 \mathrm{\frac{m^3}{m^2}} = 1,5 \cdot 10^9 \mathrm{kg} \]potenzielle Energie:\[ E_{pot} = m \cdot g \cdot h = 1,5 \cdot 10^9 \mathrm{kg} \cdot 9,81 \mathrm{\frac{N}{kg}} \cdot 1,5 \cdot 10^3 \mathrm{m} \approx 2,2 \cdot 10^{13} \mathrm{J} \]

c)Betriebsdauer für das Kraftwerk mit 1300 MW:\[ \Delta E = P \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta E}{P} = \frac{2,20 \cdot 10^{13} \mathrm{J}}{1,3 \cdot 10^9 \mathrm{W}} \approx 1,69 \cdot 10^4 \mathrm{s} \approx 4,7 \mathrm{h} \]

d)gesamte kinetische Energie:\[ \begin{array}{} E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 10^9 \mathrm{kg} \cdot \left( 10 \mathrm{\frac{m}{s}} \right)^2 = 7,5 \cdot 10^{10} \mathrm{J} \\ \, \\\frac{E_{kin}}{E_{pot}} = \frac{7,5 \cdot 10^{10} \mathrm{J}}{2,2 \cdot 10^{13} \mathrm{J}} \approx 0,3 \% \end{array} \]

d)Etwa 99,7% der Energie diente zur Überwindung der Reibung, ist also letztlich in Wärme umgewandelt worden.