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Versuche

Experimentelle Herleitung der Formel für die potentielle Energie (Simulation)

Das Ziel der Simulation

  • Die Simulation ermöglicht es dir, durch die Auswertung eines "Experimentes" die Formel für die potentielle Energie herzuleiten.
Aufbau
Masse m
Ortsfaktor g
Höhe h
Eindringtiefe e
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Abb. 1 Experiment zur Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) von der Höhe \(h\), der Masse \(m\) und dem Ortsfaktor \(g\)

In der Simulation in Abb. 1 siehst du einen Körper (violett) der Masse \(m\), der sich in einer Höhe \(h\) oberhalb des "Nullniveaus" Erdboden (grün) an einem Ort mit dem Ortsfaktor \(g\) befindet. Es liegt also Energie in Form von potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) vor.

Wenn du die Simulation startest, fällt der Körper in Richtung Erdboden und trifft dort auf einen Nagel (blau), der in einem Schaumstoffblock (gelb) steckt. Durch den Aufprall des Körpers dringt der Nagel tiefer in den Schaumstoffblock ein. Die Simulation zeigt den Wert der zusätzlichen Eindringtiefe \(e\) an. Die Simulation geht von der plausiblen Voraussetzung aus, dass die Eindringtiefe \(e\) des Nagels in den Schaumstoff ein Maß für die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) zu Beginn ist.

Mit den Schiebereglern am linken Rand der Simulation kannst du die Werte für die Masse \(m\), den Ortsfaktor \(g\) und die Höhe \(h\) in gewissen Grenzen verändern.

Wir wollen nun durch die systematische Untersuchung der Abhängigkeit der Eindringtiefe \(e\) (und damit der potentiellen Energie) von der Masse \(m\), dem Ortsfaktor \(g\) und der Höhe \(h\) eine Formel für die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) herleiten.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Höhe \(h\)

Durchführung

Stelle die Werte für die Masse \(m\) und den Ortsfaktor \(g\) auf einen beliebigen Wert ein und halte diese Werte während des gesamten 1. Teilversuchs fest.

Verändere schrittweise die Werte für die Höhe \(h\).

Beobachte den Wert für die Eindringtiefe \(e\).

Beobachtung
Aufgabe

Notiere die Werte für die Masse \(m\) und den Ortsfaktor \(g\).

Fülle die folgende Tabelle aus.

Tab. 1a
\(h\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(0{,}60\) \(0{,}70\) \(0{,}80\) \(0{,}90\) \(1{,}00\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\)

Lösung

Mit \(m=0{,}100\,\rm{kg}\) und \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) erhalten wir die folgenden Messwerte:

Tab. 1b
\(h\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(0{,}60\) \(0{,}70\) \(0{,}80\) \(0{,}90\) \(1{,}00\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\) \(30\) \(35\) \(40\) \(45\) \(50\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte aus Tab. 1b in einem \(h\)-\(e\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus, d.h. bestimme den Term der Funktion, die den Graphen beschreibt und formuliere den Zusammenhang zwischen \(E_{\rm{pot}}\) und \(h\).

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Diagramm zur Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) von der Höhe \(h\)

Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass die Messwerte am besten durch eine Ursprungsgerade angenähert werden können. Das bedeutet, dass bei konstanter Masse \(m\) und konstantem Ortsfaktor \(g\) die Eindringtiefe \(e\) und damit die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) proportional zur Höhe \(h\) des Körpers über der Erdoberfläche ist:\[{E_{{\rm{pot}}}} \sim h\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[e=50\,\frac{\rm{mm}}{\rm{m}} \cdot h\]

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) von der Masse \(m\)

Durchführung

Stelle die Werte für die Höhe \(h\) und den Ortsfaktor \(g\) auf einen beliebigen Wert ein und halte diese Werte während des gesamten 2. Teilversuchs fest.

Verändere schrittweise die Werte für die Masse \(m\).

Beobachte den Wert für die Eindringtiefe \(e\).

Beobachtung
Aufgabe

Notiere die Werte für die Höhe \(h\) und den Ortsfaktor \(g\).

Fülle die folgende Tabelle aus.

Tab. 2a
\(m\;\rm{in}\;\rm{kg}\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}100\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\)

Lösung

Mit \(h=1{,}00\,\rm{m}\) und \(g=10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) erhalten wir die folgenden Messwerte:

Tab. 2b
\(m\;\rm{in}\;\rm{kg}\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}100\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\) \(30\) \(35\) \(40\) \(45\) \(50\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte aus Tab. 2b in einem \(m\)-\(e\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus, d.h. bestimme den Term der Funktion, die den Graphen beschreibt und formuliere den Zusammenhang zwischen \(E_{\rm{pot}}\) und \(m\).

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Diagramm zur Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) von der Masse \(m\)

Das Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass die Messwerte am besten durch eine Ursprungsgerade angenähert werden können. Das bedeutet, dass bei konstanter Höhe \(h\) und konstantem Ortsfaktor \(g\) die Eindringtiefe \(e\) und damit die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) proportional zur Masse \(m\) des Körpers über der Erdoberfläche ist:\[{E_{{\rm{pot}}}} \sim m\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[e=500\,\frac{\rm{mm}}{\rm{kg}} \cdot m\]

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) vom Ortsfaktor \(g\)

Durchführung

Stelle die Werte für die Höhe \(h\) und die Masse \(m\) auf einen beliebigen Wert ein und halte diese Werte während des gesamten 3. Teilversuchs fest.

Verändere schrittweise die Werte für den Ortsfaktor \(g\).

Beobachte den Wert für die Eindringtiefe \(e\).

Beobachtung
Aufgabe

Notiere die Werte für die Masse \(m\) und die Höhe \(h\).

Fülle die folgende Tabelle aus.

Tab. 3a
\(g\;\rm{in}\;\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) \(4{,}0\) \(5{,}0\) \(6{,}0\) \(7{,}0\) \(8{,}0\) \(9{,}0\) \(9{,}4\) \(9{,}8\) \(10{,}0\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\) \(\;\)

Lösung

Mit \(h=1{,}00\,\rm{m}\) und \(m=0{,}100\,\rm{kg}\) erhalten wir die folgenden Messwerte:

Tab. 3b
\(g\;\rm{in}\;\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) \(4{,}0\) \(5{,}0\) \(6{,}0\) \(7{,}0\) \(8{,}0\) \(9{,}0\) \(9{,}4\) \(9{,}8\) \(10{,}0\)
\(e\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(20\) \(25\) \(30\) \(35\) \(40\) \(45\) \(47\) \(49\) \(50\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte aus Tab. 3b in einem \(g\)-\(e\)-Diagramm dar.

Werte das Diagramm aus, d.h. bestimme den Term der Funktion, die den Graphen beschreibt und formuliere den Zusammenhang zwischen \(E_{\rm{pot}}\) und \(g\).

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Diagramm zur Untersuchung der Abhängigkeit der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot}}\) vom Ortsfaktor \(g\)

Das Diagramm in Abb. 4 zeigt, dass die Messwerte am besten durch eine Ursprungsgerade angenähert werden können. Das bedeutet, dass bei konstanter Höhe \(h\) und konstanter Masse \(m\) die Eindringtiefe \(e\) und damit die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) proportional zum Ortsfaktor \(g\) ist:\[{E_{{\rm{pot}}}} \sim g\]Die Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade lautet hier\[e=50\,\frac{\rm{mm}\,\rm{kg}}{\rm{N}} \cdot g\]

Zusammenfassung der Ergebnisse der drei Teilversuche

  • Aus dem ersten Teilversuch ergibt sich \(E_{\rm{pot}} \sim h\) bei konstantem \(m\) und konstantem \(g\)
  • Aus dem zweiten Teilversuch ergibt sich \(E_{\rm{pot}} \sim m\) bei konstantem \(h\) und konstantem \(g\)
  • Aus dem dritten Teilversuch ergibt sich \(E_{\rm{pot}} \sim g\) bei konstantem \(h\) und konstantem \(m\)

Zusammengefasst ergibt sich\[E_{\rm{pot}} \sim m \cdot g \cdot h\]bzw.\[E_{\rm{pot}} = {\rm{const.}} \cdot m \cdot g \cdot h\]Durch die Definition der Maßeinheit \(\rm{J}\) für die Energie ergibt sich für den Proportionalitätsfaktor \(\rm{const.}=1\) und damit das zusammenfassende Versuchsergebnis\[{E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot h\]