Direkt zum Inhalt

Grundwissen

2. Newtonsches Gesetz (Aktionsprinzip)

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wirkt auf einen Körper eine resultierende Kraft \(\vec{F}\), so wird der Körper in die Richtung der Kraft beschleunigt.
  • Es gilt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}=m\cdot \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\)
  • Die Einheit der Kraft ist 1 Newton: \(\left[ F \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ a \right] = 1\,{\rm{kg}} \cdot 1\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1\,{\rm{kg}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1\,{\rm{N}}\)
Aufgaben Aufgaben

Alltagserfahrungen

Abb. 1 Kraft, Masse und Beschleunigung am Basketball

Unzählige Beispiele aus dem Alltag zeigen dir, dass beim Beschleunigen und beim Abbremsen eines Körpers eine enge Beziehung zwischen der wirkenden Kraft \(\vec{F}\), der Masse \(m\) des Körpers und Beschleunigung \(\vec{a}\) besteht:

  • Trittst du stark, also mit großer Kraft gegen einen Ball, so wird der Ball stärker beschleunigt, als wenn du den Ball nur leicht berührst.
  • Einen Handball kannst du mit deiner Armkraft stärker beschleunigen als eine schwere Kugelstoß-Kugel.
  • Zum Abbremsen (Fangen) eines Basketballes musst du eine größere Kraft aufbringen, als zum Abbremsen (Fangen) eines Volleyballs.

Weiter wird die Masse immer in der Richtung beschleunigt, in die die Kraft wirkt.

Newtonsches Kraftgesetz

Mit verschiedenen Experimenten und Messungen kann man die Zusammenhänge zwischen der wirkenden Kraft \(\vec{F}\), der Masse \(m\) des Körpers und der Beschleunigung \(\vec{a}\) auch mathematisch beschreiben. So gilt zum einen, dass eine doppelte, dreifache,... Kraft \(F\) zu einer doppelten, dreifachen... Beschleunigung \(a\) einer Masse \(m\) führt. Mathematisch ausgedrückt:
\[a \sim F\;{\rm{,}}\;{\rm{wenn}}\;m\;\text{konstant gehalten wird.}\]

Zum anderen gilt, dass eine doppelte, dreifache,... Masse \(m\) eine halb so große, ein Drittel so große,... Beschleunigung \(a\) erfährt, wenn die wirkende Kraft \(F\) konstant gehalten wird. Mathematisch ausgedrückt:
\[a \sim \frac{1}{m}\;{\rm{,}}\;{\rm{wenn}}\;F\;\text{konstant gehalten wird.}\]
Beide Erkenntnisse zusammen führen zu
\[a \sim F \cdot \frac{1}{m} \quad \text{bzw.} \quad a \sim \frac{F}{m}\]
was zu der Beziehung
\[F \sim m \cdot a\]
umgeformt werden kann. Mit diesem Ergebnis definierte nun NEWTON, was wir unter Kraft zu verstehen haben und gleichzeitig die Einheit der Kraft. NEWTON machte diese Definition so, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen \(F\) und \(m \cdot a\) gerade den Wert \(1\) hat. Es gilt also \(F=m\cdot a\).

Definition der Maßeinheit Newton

Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung: \[F = m \cdot a \quad\text{bzw. vektoriell}\quad\vec{F}=m\cdot \vec{a}\] Die Einheit der Kraft ist zu Ehren von Isaak NEWTON 1 Newton (\(1\,\rm{N}\)). Eine Kraft hat also den Betrag \(1\,\rm{N}\), wenn sie auf einem Körper der Masse \(m=1\,\rm{kg}\) wirkt und dieser dadurch die Beschleunigung \(a = 1\,\frac{\rm{m}}{{{\rm{s^2}}}}\) erfährt. Aus der Definition der Kraft und den Maßeinheiten von Masse und Beschleunigung ergibt sich so \[\left[ F \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ a \right] = 1\,{\rm{kg}} \cdot 1\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1\,{\rm{kg}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1\,{\rm{N}}\]

2. Newtonsches Gesetz - Aktionsprinzip

Sprachlich formulieren kannst du das Aktionsprinzip mit:

Wirkt eine resultierende Kraft \(\vec{F}\) auf einen Körper der Masse \(m\), so wird der Körper in Richtung der wirkenden Kraft beschleunigt. Dabei gilt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\).

Mithilfe des Zusammenhangs \(\vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\) kannst du das Kraftgesetz auch mit \[\vec{F}=m\cdot \vec{a}=m\cdot \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\] ausdrücken. Dies ist hilfreich, da wir Zeiten und Geschwindigkeiten im Gegensatz zu Beschleunigungen oft einfach messen können.

Achtung: Du darfst aus dem Aktionsprinzip nicht ableiten, dass sich der Körper auch in die Richtung der Kraft bzw. Beschleunigung bewegt. Dies ist der Fall, wenn der Körper zuvor in Ruhe war, aber zumeist nicht, wenn sich der Körper bereits bewegt. Rollt z.B. ein Auto über eine Tischkante, so wirkt auf das Auto zwar eine resultierende Kraft senkrecht in Richtung des Bodens, aber es bewegt sich nicht senkrecht nach unten, sondern schräg (parabelförmig). Die resultierende Beschleunigung \(\vec{a}\) und die resultierende Geschwindingkeit \(\vec{v}\) zeigen hier nicht in die gleiche Richtung.

Sonderfall 1. Newtonsches Gesetz

Das 2. Newtonsche Gesetz beinhaltet genau betrachtet auch das 1. Newtonsche Gesetz. Wenn keine resultierende Kraft auf einen Körper wirkt, wird der Körper nicht beschleunigt und führt damit eine geradlinig-gleichförmige Bewegung aus. Dies entspricht der Aussage des 1. Newtonschen Gesetzes. Dass beide Gesetze meist getrennt formuliert werden, hat historische Gründe.