Auf einem unbekannten Planeten hebt ein Außerirdischer eine \(l = 2{,}10\,{\rm{m}}\) lange Rollbahn um \(h = 2{,}0\,{\rm{cm}}\) aus der Horizontalen. Bei der Messung stellt er fest, dass der Wagen zum Durchlaufen der Messstrecke \(s = 1{,}80\,{\rm{m}}\) die Zeit \(t = 6{,}67\,{\rm{s}}\) benötigt.
a)
Berechne die Beschleunigung des Wagens.
b)
Berechne aus den Angaben und Ergebnissen von Aufgabenteil a) die Fallbeschleunigung auf dem Planeten.
Die Beschleunigung des Waagens ergibt sich aus \[{s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Leftrightarrow a = \frac{{2 \cdot s}}{{{t^2}}} \Rightarrow a = \frac{{2 \cdot 1{,}80{\rm{m}}}}{{{{\left( {6{,}67{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 0{,}081\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]
b)
Ist \({\vec F}_{\rm{G,P}}\) mit \({F_{{\rm{G,P}}}} = m \cdot {g_{\rm{P}}}\) die Gewichtskraft des Versuchswagens auf dem Planeten, so wird er auf der schiefen Ebene durch die Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA}}}}\) mit \({F_{{\rm{HA}}}} = m \cdot {g_{\rm{P}}} \cdot \sin \left( \alpha \right)\) beschleunigt.
Zuerst nutzt man den bekannten trigonometrischen Zusammenhang "Sinus gleich Gegenkathete durch Hypotenuse"\[\sin \left( \alpha \right) = \frac{h}{l}\]Damit ergibt sich\[{F_{{\rm{HA}}}} = m \cdot {g_{\rm{P}}} \cdot \frac{h}{l}\]Beschleunigt wird die Masse \(m\), so dass sich nach dem 2. Axiom von NEWTON ergibt\[{F_{{\rm{HA}}}} = a \cdot m \Leftrightarrow m \cdot {g_{\rm{P}}} \cdot \frac{h}{l} = a \cdot m \Leftrightarrow {g_{\rm{P}}} \cdot \frac{h}{l} = a \Leftrightarrow {g_{\rm{P}}} = a \cdot \frac{l}{h}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{{\rm{HA}}}} = a \cdot m \Leftrightarrow m \cdot {g_{\rm{P}}} \cdot \frac{l}{h} = a \cdot m \Leftrightarrow {g_{\rm{P}}} \cdot \frac{l}{h} = a \Leftrightarrow {g_{\rm{P}}} = 0{,}081\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{2{,}10{\rm{m}}}}{{0{,}02{\rm{m}}}} = 8{,}5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
