Um die Fallbeschleunigung eines Planeten zu bestimmen, macht ein Astronaut dort einen Versuch mit der ATWOODschen Fallmaschine. Die Rolle ist reibungsfrei und völlig ohne Masse anzunehmen. Die Strecke \(s = 4{,}00\,{\rm{m}}\) wird dabei in \(t = 65{,}2\,{\rm{s}}\) durchlaufen.
a)
Berechne die Beschleunigung der Körper.
b)
In einem Vorversuch hat der Astronaut festgestellt, dass \(m\) genau tausendmal so groß wie \(m'\) ist.
Die Beschleunigung ergibt sich aus \[{s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Leftrightarrow a = \frac{{2 \cdot s}}{{{t^2}}} \Rightarrow a = \frac{{2 \cdot 4{,}00{\rm{m}}}}{{{{\left( {65{,}2\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 0{,}0019\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]
b)
Wir betrachten die Kräfte, die auf die Masse \(m\) wirken, wenn sie sich nach oben bewegt. Dies sind
- die nach unten gerichteten Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,m+m'}}}}\) mit \({\vec F}_{\rm{G,m+m'}} = \left({m+m'}\right) \cdot g\)
- die über die Rolle umgelenkte und über das Seil verlängerte nach oben zeigende Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,m}}}}\) mit \({\vec F}_{\rm{G,m}} = {m} \cdot g\)
Der Betrag der gesamten auf den Wagen wirkenden Kraft ist somit\[{F_{{\rm{ges}}}}{\rm{ = }}{F_{{\rm{G}},m + m'}} - {F_{{\rm{G}}{\rm{,m}}}} = \left( {m + m'} \right) \cdot g - m \cdot g = m' \cdot g\]In Bewegung versetzt werden beide Massen, also gilt\[{m_{{\rm{ges}}}} = \left( {m + m'} \right) + m = 2 \cdot m + m'\]Damit ergibt sich nach dem 2. Axiom von NEWTON\[{F_{{\rm{ges}}}} = a \cdot {m_{{\rm{ges}}}} \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{ges}}}}}}{{{m_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{{m' \cdot g}}{{2 \cdot m + m'}}\]Einsetzen von \(m = 1000 \cdot m'\) liefert\[a = \frac{{m' \cdot g}}{{2 \cdot \left( {1000 \cdot m'} \right) + m'}} = \frac{{m' \cdot g}}{{2001 \cdot m'}} = \frac{1}{{2001}} \cdot g \Leftrightarrow g = 2001 \cdot a\]und damit\[g = 2001 \cdot 0{,}0019\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 3{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
