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Aufgabe

Der Start des Space-Shuttles

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die Masse des Space-Shuttles betrug beim Start zusammen mit der Trägerrakete ungefähr \(2{,}0 \cdot {10^6}\,{\rm{kg}}\). Während des Starts erhöhte sich nach dem Zünden der Triebwerke die Schubkraft der Rakete relativ schnell bis zum Maximalwert von ca. \(3{,}0 \cdot {10^7}\,{\rm{N}}\).

a)

Berechne den Betrag \({F_{\rm{S}}}\) der Schubkraft, die die Triebwerke in dem Augenblick aufbrachten, in dem die Rakete unmittelbar nach dem Start gerade schwebte. Rechne mit \(g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

b)

Berechne die Beschleunigung \({{\rm{a}}_{{\rm{max}}}}\), die die Rakete kurz nach dem Abheben erfahren konnte. Vorsicht: Beachte unbedingt Teilaufgabe a). [Kontrollergebnis: \({{\rm{a}}_{{\rm{max}}}} = 5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)]

c)

Berechne die Zeit \(t\), die die Rakete für den ersten Kilometer ihres Fluges benötigte.

d)

Berechne die Geschwindigkeit \(v\), die die Rakete am Ende des ersten Kilometers ihres Fluges erreicht hatte.

e)

Begründe, warum über eine längere Flugstrecke die Beschleunigung des Space-Shuttles - wie bei allen anderen Raketen auch - trotz gleichbleibender Schubkraft der Triebwerke nicht mehr als konstant angenommen werden konnte und welchen Einfluss dies auf die Beschleunigung hatte.

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a)

In dem Augenblick, in dem das Space-Shuttle gerade schwebt, muss die Schubkraft betragsgleich der Gewichtskraft sein. Somit gilt\[{F_{\rm{S}}} = {F_{\rm{G}}} = m \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{S}}} = 2{,}0 \cdot {10^6}\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 2{,}0 \cdot {10^7}\,{\rm{N}}\]

b)

Die Beschleunigung des Space.Shuttles geschieht durch die resultiernde Kraft auf die Rakete; da Schubkraft \({\vec F_{\rm{S}}}\) und Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) entgegengesetzt gerichtet sind, ist der Betrag der resultierenden Kraft die Differenz der Beträge von Schub- und Gewichtskraft\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{\rm{S}}} - {F_{\rm{G}}} \Rightarrow {F_{{\rm{res}}}} = 3{,}0 \cdot {10^7}\,{\rm{N}} - 2{,}0 \cdot {10^7}\,{\rm{N}} = 1{,}0 \cdot {10^7}\,{\rm{N}}\]Damit berechnet sich die Beschleunigung nach dem 2. NEWTONschen Axiom zu\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \Rightarrow a = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^7}\,{\rm{N}}}}{{2{,}0 \cdot {{10}^6}\,{\rm{kg}}}} = 5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

c)

Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handeln soll, ergibt sich\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{a}}  \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}}{{5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 20\,{\rm{s}}\]

d)

Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handeln soll, ergibt sich\[v = a \cdot t \Rightarrow v = 5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 20\,{\rm{s}} = 100\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 360\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

e)

Das Space-Shuttle wird wie jede Rakete durch den Ausstoß von Treibstoff angetrieben; dadurch verringert sich die Masse des Space-Shuttes kontinuierlich. Bei gleichbleibender Schubkraft bewirkt eine geringer werdende Masse wegen \(F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\) eine immer größer werdende Beschleunigung des Space-Shuttles während des Starts.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kraft und Bewegungsänderung