Um Dachziegel heil vom Dach zu transportieren verwendet eine Dachdeckerfirma nebenstehend skizzierte einfache Maschine, bei der ein Wagen (Masse leer \({m_2} = 25{,}0\,{\rm{kg}}\)) auf einer unter \(\alpha = 60{,}0^\circ \) geneigten schiefen Ebene rollt (Länge der Rollstrecke \(s = 12{,}0\,{\rm{m}}\)). Er ist über eine Rolle mit einem Gegengewicht der Masse \({m_1} = 25{,}0\,{\rm{kg}}\) verbunden. Die Reibungskraft beträgt jeweils \(10\% \) der Gewichtskraft des leeren bzw. beladenen Wagens.
a)
Berechne die Beschleunigung des leeren Wagens.
b)
Berechne die Geschwindigkeit des leeren Wagens nach Durchlaufen der Rollstrecke am oberen Puffer.
c)
Oben wird der Wagen mit Ziegeln der Gesamtmasse \({m_3} = 10{,}0\,{\rm{kg}}\) beladen.
Berechne nun die Beschleunigung des beladenen Wagens nach unten.
d)
Berechne, nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit der volle Wagen auf den unteren Puffer prallt.
e)
Zusatzaufgabe*: Berechne das Minimal- und Maximalgewicht der Zuladung \(m_3\), welches dafür sorgt, dass sich der Wagen auf Grund der Reibungskräfte gar nicht bewegt.
Die folgenden beiden Abbildungen sollen die Nachvollziehbarkeit der Lösungen unterstützen:
Joachim Herz Stiftung
Joachim Herz Stiftung
a)
Wir betrachten die Kräfte, die auf das System (bestehend aus dem Wagen und dem Gegengewicht) in oder entgegen der Bewegungsrichtung wirken, während sich der Wagen nach oben und das Gegengewicht nach unten bewegt. Dies sind:
• die in Bewegungsrichtung gerichtete Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,1}}}}\) mit \({{ F}_{{\rm{G}},1}} = {m_1} \cdot g\)
• die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA,2}}}}\) mit \({F_{{\rm{HA,2}}}} = {m_2} \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
• die ebenfalls entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Rollreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{RR,2}}}}\) mit \({F_{{\rm{RR,2}}}} = 10\% \cdot {m_2} \cdot g\)
Der Betrag der gesamten auf das System wirkenden Kraft ist somit\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ges}}}} &=& {F_{{\rm{G,1}}}} - {F_{{\rm{HA,2}}}} - {F_{{\rm{RR,2}}}}\\ &=& {m_1} \cdot g - {m_2} \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right) - 10\% \cdot {m_2} \cdot g\\ &=& g \cdot \left( {{m_1} - {m_2} \cdot \sin \left( \alpha \right) - 10\% \cdot {m_2}} \right)\end{eqnarray}\]In Bewegung versetzt werden beide Massen, also gilt\[{m_{{\rm{ges}}}} = {m_1} + {m_2}\]Damit ergibt sich nach dem 2. Axiom von NEWTON\[{F_{{\rm{ges}}}} = a \cdot {m_{{\rm{ges}}}} \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{ges}}}}}}{{{m_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{{g \cdot \left( {{m_1} - {m_2} \cdot \sin \left( \alpha \right) - 10\% \cdot {m_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a = \frac{{9{,}81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {25{,}0{\rm{kg}} - 25{,}0{\rm{kg}} \cdot \sin \left( {60{,}0^\circ } \right) - 10\% \cdot 25{,}0{\rm{kg}}} \right)}}{{25{,}0{\rm{kg}} + 25{,}0{\rm{kg}}}} = 0{,}167\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
b)
\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}}\\{v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{v}{a}}\end{array}} \right\} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\left( {\frac{v}{a}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v^2}}}{a} \Leftrightarrow v = \sqrt {2 \cdot s \cdot a} \]Einsetzen der gegebeben Werte liefert\[v = \sqrt {2 \cdot 12{,}0\,{\rm{m}} \cdot 0{,}167\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}} = 2{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Wir betrachten die Kräfte, die auf das System (bestehend aus dem Wagen und dem Gegengewicht) in oder entgegen der Bewegungsrichtung wirken, während sich der Wagen nach unten und das Gegengewicht nach oben bewegt. Dies sind:
• die in Bewegungsrichtung gerichteten Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA,2,3}}}}\) mit \({F_{{\rm{HA,2,3}}}} = \left({m_2} + {m_3}\right) \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
• die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,1}}}}\) mit \({{F}_{{\rm{G}},1}} = {m_1} \cdot g\)
• die ebenfalls entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Rollreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{RR,2,3}}}}\) mit \({F_{{\rm{RR,2,3}}}} = 10\% \cdot \left({m_2} + {m_3}\right) \cdot g\)
Der Betrag der gesamten auf das System wirkenden Kraft ist somit\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ges}}}} &=& {F_{{\rm{HA,2,3}}}} - {F_{{\rm{G,1}}}} - {F_{{\rm{RR,2}}}}\\ &=& \left( {{m_2} + {m_3}} \right) \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right) - {m_1} \cdot g - 10\% \cdot \left( {{m_2} + {m_3}} \right) \cdot g\\ &=& g \cdot \left( {\left( {{m_2} + {m_3}} \right) \cdot \sin \left( \alpha \right) - {m_1} - 10\% \cdot \left( {{m_2} + {m_3}} \right)} \right)\end{eqnarray}\]In Bewegung versetzt werden alle drei Massen, also gilt\[{m_{{\rm{ges}}}} = {m_1} + {m_2} + {m_3} \]Damit ergibt sich nach dem 2. Axiom von NEWTON\[{F_{{\rm{ges}}}} = a \cdot {m_{{\rm{ges}}}} \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{ges}}}}}}{{{m_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{{g \cdot \left( {\left( {{m_2} + {m_3}} \right) \cdot \sin \left( \alpha \right) - {m_1} - 10\% \cdot \left( {{m_2} + {m_3}} \right)} \right)}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a = \frac{{9{,}81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s^2}}}}} \cdot \left( {35{,}0{\rm{kg}} \cdot \sin \left( {60{,}0^\circ } \right) - 25{,}0\,{\rm{kg}} - 10\% \cdot 35{,}0\,{\rm{kg}}} \right)}}{{25{,}0\,{\rm{kg}} + 35{,}0\,{\rm{kg}}}} = 0{,}296\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s^2}}}}}\]
d)
Analog zu Aufgabenteil b) ergibt sich\[v = \sqrt {2 \cdot s \cdot a} \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot 12,0{\rm{m}} \cdot 0{,}296\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s^2}}}}}} = 2{,}67\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]und\[{t = \frac{v}{a} \Rightarrow t = \frac{{2{,}67\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0{,}296\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s^2}}}}}}} = 9{,}02\,{\rm{s}}}\]
e)
Teil 1: Berechnung der minimalen Zuladung \(m_3\), die dafür sorgt, dass der Wagen nicht mehr nach oben gezogen wird.
Wir wählen den Ansatz wie in Aufgabenteil a). Die wirkenden Kräfte sind:
• die in Bewegungsrichtung gerichtete Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,1}}}}\) mit \({{ F}_{{\rm{G}},1}} = {m_1} \cdot g\)
• die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA,2+3}}}}\) mit \({F_{{\rm{HA,2+3}}}} = ({m_2+m_3}) \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
• die ebenfalls entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Rollreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{RR,2+3}}}}\) mit \({F_{{\rm{RR,2+3}}}} = 10\% \cdot ({m_2+m_3}) \cdot g\)
Der Wagen wird gerade dann nicht mehr nach oben bewegt, wenn die resultierende Gesamtkraft gerade Null wird, also gilt\[F_{\rm{ges}}=0=g\cdot\left(m_1-\left(m_2+m_3\right)\cdot\sin(60°)-10\%\left(m_2+m_3\right) \right)\]Einsetzen der Werte und teilen durch \(g\) liefert\[0=25\,\rm{kg}-\left(25\,\rm{kg}+m_3\right)\cdot\sin(60°)-10\%\left(25\,\rm{kg}+m_3\right)\]Ausmultiplizieren und auflösen nach \(m_3\) ergibt\[0{,}966\cdot m_3=0{,}849\,\rm{kg}\Leftrightarrow m_3=0{,}879\,\rm{kg} \]Schon bei einer Zuladung von \(m_3=0{,}879\,\rm{kg}\) bewegt sich der Wagen aufgrund der Reibungskräfte nicht mehr nach oben.
Teil 2: Berechnung der maximalen Zuladung \(m_3\), bis zu der der Wagen gerade noch nicht nach unten gezogen wird.
Wir wählen den Ansatz wie in Aufgabenteil c). Die wirkenden Kräfte sind:
• die in Bewegungsrichtung gerichteten Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA,2,3}}}}\) mit \({F_{{\rm{HA,2,3}}}} = \left({m_2} + {m_3}\right) \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
• die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Gewichtskraft \({{\vec F}_{{\rm{G,1}}}}\) mit \({{F}_{{\rm{G}},1}} = {m_1} \cdot g\)
• die ebenfalls entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete Rollreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{RR,2,3}}}}\) mit \({F_{{\rm{RR,2,3}}}} = 10\% \cdot \left({m_2} + {m_3}\right) \cdot g\)
Der Wagen wird gerade dann noch nicht nach unten bewegt, wenn die resultierende Gesamtkraft gerade Null wird, also gilt\[F_{\rm{ges}}=0=g\cdot\left(-m_1+\left(m_2+m_3\right)\cdot\sin(60°)-10\%\left(m_2+m_3\right) \right)\]Einsetzen der Werte und teilen durch \(g\) liefert\[0=-25\,\rm{kg}+\left(25\,\rm{kg}+m_3\right)\cdot\sin(60°)-10\%\left(25\,\rm{kg}+m_3\right)\]Ausmultiplizieren und auflösen nach \(m_3\) ergibt\[0{,}766\cdot m_3=5{,}85\,\rm{kg}\Leftrightarrow m_3=7{,}64\,\rm{kg}\]Erst ab einer Zuladung von \(7{,}64\,\rm{kg}\) fängt der Wagen an sich nach unten zu bewegen.
Für Zuladungen zwischen \(0{,}879\,\rm{kg}\) und \(7{,}64\,\rm{kg}\) bewegt sich der Wagen aufgrund der Reibungskräfte gar nicht.
