Der Bergbauer Schlauberger hat für seinen Hof einen einfachen Lastenaufzug aus zwei Fässern mit je \(200\ell\) Fassungsvermögen gebaut. Das obere Fass wird voll Wasser gefüllt, in das untere wird die Last von \(120\rm{kg}\) gelegt. Jedes Fass hat leer die Masse \(20\rm{kg}\), das Seil die Masse \(40\rm{kg}\). Die "Seilbahn" ist \(30^\circ \) geneigt und \(250\rm{m}\) lang. Die gesamte Reibung ist unabhängig von der Beladung stets \(200\rm{N}\).
a)
Berechne den Betrag der beschleunigenden Kraft
b)
Berechne den Betrag der Beschleunigung.
c)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, die die Last oben hätte, wenn Schlauberger vergisst zu bremsen.
Hinweis: Schlaubergers Bahn hat ein echtes Vorbild, die Nerobergbahn in Wiesbaden. Hier kannst du weitere Informationen dazu nachlesen.
Am 25. September 1888 wurde die Nerobergbahn als Wasserballastbahn eröffnet, und stellte somit die Verbindung vom Nerotal zum Wiesbadener Hausberg, dem Neroberg her. Die Bausumme belief sich auf 222 352,13 Mark. Im Gegensatz zu anderen Bergbahnen wurde die Technik der Nerobergbahn seither nicht verändert.
Der talwärts fahrende Wagen hat einen vollen Ballastwassertank und zieht den anderen Wagen mit leerem Tank durch seine Schwerkraft nach oben. Das Ballastwasser wird in einem unter dem Fahrgastraum angebrachten Tank, der 7 m³ Wasser aufnehmen kann, mitgeführt. Das erforderliche Wasser kommt aus zwei auf dem Neroberg befindlichen Reservoirs, mit einem Fassungsvermögen von 380 m³. An der Bergstation schiebt sich das Ende des Wasserrohrs in das etwas größere Auffangrohr des Wagens.
Der Wagenführer öffnet einen Wasserschieber und lässt entsprechend der Besetzung beider Wagen Wasser einlaufen. In der Talstation passiert der einfahrende Wagen ein Winkeleisen, so das sich ein Ventil öffnet, und den Tank automatisch entleert. Das Wasser wird aufgefangen, und in einem 210 m³ fassenden Reservoir gesammelt, und wieder mit einer Leistung von 60 m³ /h und 12 bar zur Bergstation in die Reservoirs gepumpt. Die mit Dampf betriebene Pumpe wurde 1916 durch eine Pumpe mit Elektroantrieb ersetzt.
Nach dem 2. NEWTON'schen Axiom gilt \[{{F_{{\rm{ges}}}} = a \cdot {m_{{\rm{ges}}}} \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{{{m_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow a = \frac{{0,21 \cdot {{10}^3}{\rm{N}}}}{{120{\rm{kg}} + 200{\rm{kg}} + 20{\rm{kg}} + 20{\rm{kg}} + 40{\rm{kg}}}} = {\rm{0}},{\rm{53}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]
c)
Es handelt sich um eine konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit. Mit der dritten Bewegungsgleichung ergibt sich \[v = \sqrt {2 \cdot a \cdot s} \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot 0,53\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 250{\rm{m}}} = 16\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx {\rm{59}}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
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