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Grundwissen

Hebel

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Als Hebel bezeichnet man einen starren Körper, der um eine feste Drehachse gedreht werden kann, z.B. eine Wippe. 
  • Ein zweiseitiger Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) auf beiden Seiten der Drehachse gleich groß ist: \(F_{\rm{l}}\cdot a_{\rm{l}}=F_{\rm{r}}\cdot a_{\rm{r}}\)
  • Allgemein ist der Hebelarm \(a\) bestimmt durch den Abstand zwischen Drehachse \(\rm{D}\) und der Wirkungslinie der Kraft \(F\).
Aufgaben Aufgaben

Verschiedene Hebel im Alltag

Einen um eine feste Achse drehbaren, starren Körper nennen wir Hebel. Im Alltag kennst du viele verschiedene Hebel: Wippe, Schere, Nussknacker und Schraubenschlüssel. Auch dein Arm ist im Prinzip ein Hebel. Allgemein gilt dabei: Je länger der Hebel(-arm) ist, desto kleiner ist die Kraft, die du aufbringen musst, um z.B. deinen Partner auf der Wippe anzugeben. Weiter unterscheidet man zweiseitige Hebel wie eine Wippe von einseitigen Hebeln wie einem Schraubenschlüssel.

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Abb. 1 Verschiedene Hebel im Alltag: Wippe, Schere, Nussknacker und Schraubenschlüssel

Zweiseitiger Hebel

Bei einem zweiseitigen Hebel erstreckt sich der starre Körper auf beide Seiten der Drehachse. Es können daher auf beiden Seiten der Drehachse Kräfte am Hebel angreifen. Besonders einfach kannst du Größen am zweiseitigen Hebel berechnen, wenn dieser waagerecht steht und die angreifenden Kräfte senkrecht dazu, also senkrecht nach oben oder nach unten wirken. In diesem Fall entspricht der Abstand des Angriffspunktes \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) von der Drehachse genau dem sogenannten Hebelarm \(a\) (siehe Abb. 1). 

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Abb. 2 Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht
Gleichgewichtsbedingung am zweiseitigen Hebel

Der Hebel ist hier im Gleichgewicht, wenn das Produkt von Kraft und Hebelarm der links von der Drehachse angreifenden Kräfte gleich dem Produkt von Kraft und Hebelarm der rechts von der Drehachse angreifenden Kräfte ist: \[{F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2}\]

Mehr als eine wirkende Kraft auf einer Seite

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Abb. 3 Zweiseitiger Hebel mit drei wirkenden Kräften

Wenn auf einer Seite oder auf beiden Seiten des Hebels mehr als eine Kraft wirkt, so addierst du für jede Seite alle Produkte aus Kraft und Hebelarm auf. Im Gleichgewichtsfall muss die Summe der Produkte für die links angreifenden Kräfte gleich der Summe der Produkte für die rechts angreifenden Kräfte sein. Für das in Abb. 3 dargestellte Beispiel mit drei angreifenden Kräften gilt daher im Gleichgewichtsfall \[F_{\rm{l1}}\cdot a_{\rm{l1}}+F_{\rm{l2}}\cdot a_{\rm{l2}}=F_{\rm{r1}}\cdot a_{\rm{r1}}\]

Nach oben wirkende Kraft

Wirkt eine am Hebel angreifende Kraft nicht nach unten, sondern nach oben, so musst du in der Rechnung den Betrag dieser Kraft mit einem Minuszeichen versehen. 

Bestimmung des Hebelarms im allgemeinen Fall

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Abb. 4 Hebelarm beim zweiseitigen Hebel im allgemeinen Fall

Nur im geschilderten Sonderfall entspricht der Abstand vom Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft zur Drehachse \(\rm{D}\) dem Hebelarm \(a\). Im Allgemeinen, wenn zum Beispiel der Hebel nicht waagerecht steht oder eine Kraft nicht senkrecht zum Hebel wirkt, bestimmst du den Hebelarm über den Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse. Der Hebelarm steht dabei immer senkrecht auf der Wirkungslinie (siehe Abb. 4).

Die Länge des Hebelarms \(a\) kannst du dabei entweder durch eine maßstabsgerechte Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen. Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 4 berechnest du aus \[\cos(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\cos(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]Hebelarm \(a_2\) berechnest du auf gleiche Art und Weise.

Aufgabe

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Abb. 5 Zweiseitiger Hebel mit drei Kräften
Berechne den Betrag \(F_3\) der Kraft, die in Abb. 5 nötig ist, damit der Hebel mit den Kräften \(F_1=50\,\rm{N}\) und \(F_2=75\,\rm{N}\) im Gleichgewicht ist.

Lösung

Für das Gleichgewicht gilt die Bedingung \[{F_3} \cdot {a_3} = {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}\Leftrightarrow {F_3} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}}}{{{a_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Kräfte und Hebelarme führt zur notwendigen Kraft \(F_3\): \[\Rightarrow {F_3} = \frac{{50\,{\rm{N}} \cdot 60\,{\rm{cm}} + 75\,{\rm{N}} \cdot 40\,{\rm{cm}}}}{{60\,{\rm{cm}}}} = 100\,{\rm{N}}\]

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Abb. 6 Zweiseitiger Hebel mit schräg angreifender Kraft

Am Hebel in der Abbildung 6 wirken die drei Kräfte \({\vec F_1}\) mit \({{F_1} = 40\,{\rm{N}}}\), \({\vec F_2}\) mit \({{F_2} = 50\,{\rm{N}}}\) und \({\vec F_3}\) mit \({{F_3} = 100\,{\rm{N}}}\).

Bestimme in welchem Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\) der Angriffspunkt A der Kraft \({\vec F_3}\) vom Drehpunkt D liegen muss, damit am Hebel Gleichgewicht herrscht.
Tipp: Berechne zuerst die Länge \(a_3\) des notwendigen Hebelarms von \({\vec F_3}\) und bestimme dann zeichnerisch (oder mit Hilfe der Trigonometrie) den Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\).

Lösung

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Abb. 7 Zweiseitiger Hebel mit schräg angreifender Kraft - Lösung

Aus der Gleichgewichtsbedingung beim Hebel erhält man\[{F_3} \cdot {a_3} = {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2} \Leftrightarrow {a_3} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}}}{{{F_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_3} = \frac{{40{\rm{N}} \cdot 10{\rm{cm}} + 50{\rm{N}} \cdot 40{\rm{cm}}}}{{100{\rm{N}}}} = 24{\rm{cm}}\]Durch maßstäbliche Konstruktion des Dreiecks ADB ermittelt man für den gesuchten \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = 28\,{\rm{cm}}\). Zum gleichen Ergebnis für diesen Abstand kommt man durch trigonometrische Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck ADB:\[\cos \left( {30^\circ } \right) = \frac{{{a_3}}}{{\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|}} \Leftrightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{{a_3}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}}\]\[\Rightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{24\,{\rm{cm}}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}} = 28\,{\rm{cm}}\]