Einfache Maschinen

Mechanik

Einfache Maschinen

  • Warum benutzen Einbrecher sogenannte „Brecheisen“?
  • Kann man mit einer Rampe Arbeit sparen?
  • Wie funktioniert eigentlich ein Flaschenzug?
  • Warum hat ein Fahrrad denn eine Gangschaltung?

Das wichtigste auf einen Blick

  • Kraftwandler ändern den Angriffspunkt, die Richtung, den Betrag oder mehrere dieser Eigenschaften einer Kraft.
  • typische Beispiele für Kraftwandler sind Seil, Hebel, Rolle und Flaschenzug.

Kraftwandler verändern Bestimmungsgröße

Die Bestimmungsgrößen (Bestimmungsstücke) einer Kraft sind der Angriffspunkt, Betrag und Richtung. Kraftwandler sind einfache Geräte, mit denen eine oder mehrere Bestimmungsgrößen einer Kraft verändert werden. Typische Kraftwandler sind ein Seil oder eine Stange, ein Hebel, eine feste Rolle, ein Flaschenzug, eine schiefe Ebene oder ein Wellrad.

a)Seil (ändert nur den Angriffspunkt)

Seil als Kraftwander
Abb.
1
Ein Seil ändert den Angriffspunkt

Mit Hilfe des Seils kannst du den Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegen. Die Richtung und der Betrag der Kraft bleiben dabei unverändert.

b)Seil und feste Rolle (ändert Angriffspunkt und Richtung)

Seil und feste Rolle als Kraftwandler
Abb.
2
Seil und feste Rolle ändern Angriffspunkt und Richtung

Mit Hilfe eines Seils und einer festen Rolle kannst du den Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegen. Außerdem kannst du so auch in eine andere Richtung ziehen, die Richtung der Kraft wird also ebenfalls geändert. Lediglich der Betrag der Kraft bleibt gleich.

c)Hebel (ändert Angriffpunkt, Richtung und häufig auch Betrag)

Hebel als Kraftwandler
Abb.
3
Hebel verändert meist alle drei Bestimmungsgrößen

Mit Hilfe eines Hebels kannst du den Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegen. Außerdem kannst du mit einem Hebel auch in eine andere Richtung ziehen, die Richtung der Kraft wird also ebenfalls geändert. Und wenn du die Länge des Hebelarms veränderst, so verändert sich auch der Betrag der Kraft, die du ausüben musst, um den Hebel im Gleichgewicht zu halten. Durch Einsatz eines Hebels kannst du also alle drei Bestimmungsgrößen einer Kraft verändern.

d)Seil und lose Rolle (ändert Angriffpunkt, Betrag und evtl. auch die Richtung)

Lose Rolle als Kraftwandler
Abb.
4
Seil und lose Rolle können alle Bestimmungsgrößen ändern

Mit Hilfe eines Seils und einer losen, sich bewegenden Rolle, an der die Masse befestigt ist, kannst du den Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegen. Außerdem benötigst du durch den Einsatz einer losen Rolle eine kleinere Kraft, um die Masse anzuheben (dafür musst du aber einen längeren Weg ziehen). Durch den Einsatz von Seil und loser Rolle kannst du also alle drei Bestimmungsgrößen einer Kraft verändern.

e)Schiefe Ebene (ändert Angriffpunkt, Betrag und Richtung)

Schiefe Ebene als Kraftwandler
Abb.
5
Eine schiefe Ebene ändert alle Bestimmungsgrößen

Im Vergleich zum direkten Anheben einer Masse musst du bei Nutzung einer schiefen Ebene eine geringere Kraft aufbringen (denke z.B. am Rollstuhlrampen).  Dafür musst du aber diese Kraft über eine längere Strecke aufbringen. Auch ändern sich der Angriffspunkt der Handkraft und die Richtung der Kraft. Durch den Einsatz einer schiefen Ebene kannst du also alle drei Bestimmungsgrößen einer Kraft verändern. Wie sich Kraftbetrag und Richtung verändern hängt dabei maßgeblich von der Neigung der Ebene ab.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Als Hebel bezeichnet man einen starren Körper, der um eine feste Drehachse gedreht werden kann, z.B. eine Wippe. 
  • Ein zweiseitiger Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) auf beiden Seiten der Drehachse gleich groß ist: \(F_{\rm{l}}\cdot a_{\rm{l}}=F_{\rm{r}}\cdot a_{\rm{r}}\)
  • Allgemein ist der Hebelarm \(a\) bestimmt durch den Abstand zwischen Drehachse \(\rm{D}\) und der Wirkungslinie der Kraft \(F\).

Verschiedene Hebel im Alltag

Einen um eine feste Achse drehbaren, starren Körper nennen wir Hebel. Im Alltag kennst du viele verschiedene Hebel: Wippe, Schere, Nussknacker und Schraubenschlüssel. Auch dein Arm ist im Prinzip ein Hebel. Allgemein gilt dabei: Je länger der Hebel(-arm) ist, desto kleiner ist die Kraft, die du aufbringen musst, um z.B. deinen Partner auf der Wippe anzugeben. Weiter unterscheidet man zweiseitige Hebel wie eine Wippe von einseitigen Hebeln wie einem Schraubenschlüssel.

Verschiedene Hebel im Alltag
Abb.
1
Verschiedene Hebel im Alltag: Wippe, Schere, Nussknacker und Schraubenschlüssel

Zweiseitiger Hebel

Bei einem zweiseitigen Hebel erstreckt sich der starre Körper auf beide Seiten der Drehachse. Es können daher auf beiden Seiten der Drehachse Kräfte am Hebel angreifen. Besonders einfach kannst du Größen am zweiseitigen Hebel berechnen, wenn dieser waagerecht steht und die angreifenden Kräfte senkrecht dazu, also senkrecht nach oben oder nach unten wirken. In diesem Fall entspricht der Abstand des Angriffspunktes \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) von der Drehachse genau dem sogenannten Hebelarm \(a\) (siehe Abb. 1). 

Grundaufbau zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht
Abb.
2
Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht

Gleichgewichtsbedingung am zweiseitigen Hebel

Der Hebel ist hier im Gleichgewicht, wenn das Produkt von Kraft und Hebelarm der links von der Drehachse angreifenden Kräfte gleich dem Produkt von Kraft und Hebelarm der rechts von der Drehachse angreifenden Kräfte ist: \[{F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2}\]

Mehr als eine wirkende Kraft auf einer Seite

Zweiseitiger Hebel mit drei wirkenden Kräften
Abb.
3
Zweiseitiger Hebel mit drei wirkenden Kräften

Wenn auf einer Seite oder auf beiden Seiten des Hebels mehr als eine Kraft wirkt, so addierst du für jede Seite alle Produkte aus Kraft und Hebelarm auf. Im Gleichgewichtsfall muss die Summe der Produkte für die links angreifenden Kräfte gleich der Summe der Produkte für die rechts angreifenden Kräfte sein. Für das in Abb. 3 dargestellte Beispiel mit drei angreifenden Kräften gilt daher im Gleichgewichtsfall \[F_{\rm{l1}}\cdot a_{\rm{l1}}+F_{\rm{l2}}\cdot a_{\rm{l2}}=F_{\rm{r1}}\cdot a_{\rm{r1}}\]

Nach oben wirkende Kraft

Wirkt eine am Hebel angreifende Kraft nicht nach unten, sondern nach oben, so musst du in der Rechnung den Betrag dieser Kraft mit einem Minuszeichen versehen. 

Bestimmung des Hebelarms im allgemeinen Fall

Hebelarm beim zweiseitigen Hebel im allgemeinen Fall
Abb.
4
Hebelarm beim zweiseitigen Hebel im allgemeinen Fall

Nur im geschilderten Sonderfall entspricht der Abstand vom Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft zur Drehachse \(\rm{D}\) dem Hebelarm \(a\). Im Allgemeinen, wenn zum Beispiel der Hebel nicht waagerecht steht oder eine Kraft nicht senkrecht zum Hebel wirkt, bestimmst du den Hebelarm über den Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse. Der Hebelarm steht dabei immer senkrecht auf der Wirkungslinie (siehe Abb. 4).

Die Länge des Hebelarms \(a\) kannst du dabei entweder durch eine maßstabsgerechte Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen. Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 4 berechnest du aus \[\cos(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\cos(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]Hebelarm \(a_2\) berechnest du auf gleiche Art und Weise.

Verständnisaufgabe

Aufgabe zweiseitiger Hebel mit drei Kräften
Abb.
5
Zweiseitiger Hebel mit drei Kräften
Berechne den Betrag \(F_3\) der Kraft, die in Abb. 5 nötig ist, damit der Hebel mit den Kräften \(F_1=50\,\rm{N}\) und \(F_2=75\,\rm{N}\) im Gleichgewicht ist.

Lösung

Für das Gleichgewicht gilt die Bedingung \[{F_3} \cdot {a_3} = {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}\Leftrightarrow {F_3} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}}}{{{a_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Kräfte und Hebelarme führt zur notwendigen Kraft \(F_3\): \[\Rightarrow {F_3} = \frac{{50\,{\rm{N}} \cdot 60\,{\rm{cm}} + 75\,{\rm{N}} \cdot 40\,{\rm{cm}}}}{{60\,{\rm{cm}}}} = 100\,{\rm{N}}\]

Zweiseitiger Hebel mit schräg angreifender Kraft
Abb.
6
Zweiseitiger Hebel mit schräg angreifender Kraft

Am Hebel in der Abbildung 6 wirken die drei Kräfte \({\vec F_1}\) mit \({{F_1} = 40\,{\rm{N}}}\), \({\vec F_2}\) mit \({{F_2} = 50\,{\rm{N}}}\) und \({\vec F_3}\) mit \({{F_3} = 100\,{\rm{N}}}\).

Bestimme in welchem Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\) der Angriffspunkt A der Kraft \({\vec F_3}\) vom Drehpunkt D liegen muss, damit am Hebel Gleichgewicht herrscht.
Tipp: Berechne zuerst die Länge \(a_3\) des notwendigen Hebelarms von \({\vec F_3}\) und bestimme dann zeichnerisch (oder mit Hilfe der Trigonometrie) den Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\).

Lösung
Zweiseitiger Hebel mit schräg angreifender Kraft - Lösung
Abb.
7
Zweiseitiger Hebel mit schräg angreifender Kraft - Lösung

Aus der Gleichgewichtsbedingung beim Hebel erhält man\[{F_3} \cdot {a_3} = {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2} \Leftrightarrow {a_3} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}}}{{{F_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_3} = \frac{{40{\rm{N}} \cdot 10{\rm{cm}} + 50{\rm{N}} \cdot 40{\rm{cm}}}}{{100{\rm{N}}}} = 24{\rm{cm}}\]Durch maßstäbliche Konstruktion des Dreiecks ADB ermittelt man für den gesuchten \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = 28\,{\rm{cm}}\). Zum gleichen Ergebnis für diesen Abstand kommt man durch trigonometrische Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck ADB:\[\cos \left( {30^\circ } \right) = \frac{{{a_3}}}{{\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|}} \Leftrightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{{a_3}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}}\]\[\Rightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{24\,{\rm{cm}}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}} = 28\,{\rm{cm}}\]

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim einseitigen Hebel greifen Kräfte nur auf eine Seite der Drehachse an, z.B. am Unterarm oder an einem Schraubenschlüssel.
  • Ein einseitiger Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der Produkte \(F\cdot a\) aller wirkenden Kräfte gleich null ist.
  • Das Produkt aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) wird auch als Drehmoment \(M\) bezeichnet: \(M=F\cdot a\).

Einseitiger Hebel

Grundaufbau einseitiger Hebel
Abb.
1
Kräfte am einseitigen Hebel

Beim einseitigen Hebel wie deinem Unterarm oder einem Schraubenschlüssel befindet sich die Drehachse am Endpunkt eines starren Körpers (oder mehrerer starrer Körper). Die Kräfte am Hebel greifen also nur auf einer Seite der Drehachse an. Ein solcher einseitiger Hebel befindet sich im "Gleichgewicht", wenn die Summe der Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) aller in einer Richtung wirkenden Kräfte gleich der Summe der Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) aller in die andere Richtung wirkender Kräfte ist. Im in Abb.1 dargestellten einfachen Beispiel mit nur zwei wirkenden Kräften und unter vernachlässigung der Masse des Hebels selbst muss für den Gleichgewichtsfall also gelten \[F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2\quad\text{bzw.}\quad F_1\cdot a_1-F_2\cdot a_2=0\].

Allgemeine Bestimmung des Hebelarms

Allgemeine Bestimmung des Hebelarms am einseitigen Hebel
Abb.
2
Allgemeine Bestimmung des Hebelarms am einseitigen Hebel

Beim einseitigen Hebel entspricht der Abstand zwischen dem Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) und der Drehachse \(\rm{D}\) nur dann dem Hebelarm, wenn die Kraft senkrecht zum Hebel wirkt. Im Allgemeinen bestimmst du den Hebelarm wie in Abb. 2 über den Abstand der Drehachse \(\rm{D}\) von der Wirkungslinie der Kraft \(\vec{F}\). Dies kannst du entweder mithilfe einer maßstabsgerechten Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen.

Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 2 berechnest du mittels \[\cos(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\cos(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]

Das Drehmoment

Befindet sich der Hebel wie in Abb. 2 nicht im Gleichgewicht, so übt die Kraft \(\vec{F_1}\) eine Drehwirkung auf die Drehachse aus. Diese Drehwirkung kannst du mit dem Drehmoment \(M\) beschreiben. Das Drehmoment ist allgemein definiert als Produkt aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\):\[\bbox[lightgreen,10px,border:2px solid grey]{M=F\cdot a}\]

Symbolik für Drehmomente
Abb.
3
Symbolik für links- und rechtsdrehende Drehmomente

Je nach der Drehrichtung, die von einem Drehmoment bewirkt wird, unterscheidet man linksdrehende und rechtsdrehende Momente und verwendet dabei die in Abb. 3 dargestellte Symbolik.

Die Einheit des Drehmoments ist \(\left[M\right]=1\,\rm{N\cdot m}\). Hierfür schreibt man jedoch nicht wie bei der Energie \(1\,\rm{J}\).

Im Alltag wird z.B. beim Montieren von Autorädern angegeben, mit welchem Drehmoment die Schraubenmuttern angezogen werden müssen.

Mit dem Begriff Drehmoment kannst du die Gleichgewichtsbedingung am Hebel auch wie folgt ausdrücken: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

Weitergehende Infos zum Drehmoment und seiner Berechnung mittels Vektoren findest im Abschnitt Drehbewegungen.

Verständnisaufgabe

Eine Maschinenschraube soll mit einem Drehmoment von \(38\,\rm{Nm}\) festgezogen werden.

a)Berechne den Betrag der Kraft, die bei einem \(60\,\rm{cm}\) langen Schraubenschlüssel dafür nötig ist.

Lösung

\[M = F \cdot a \Leftrightarrow F = \frac{M}{a} \Rightarrow F = \frac{{38\,{\rm{Nm}}}}{{0{,}60\,{\rm{m}}}} = 63\,{\rm{N}}\]

b)Berechne, welches Drehmoment man bei dem selben Schlüssel durch die Kraft \(150\,\rm{N}\) erhält.

Lösung

\[M = F \cdot a \Rightarrow M = 150\,{\rm{N}} \cdot 0{,}60\,{\rm{m}} = 90\,{\rm{Nm}}\]

Das Wichtigste auf einen Blick

  • An einer Rolle herrscht Kräftegleichgewicht, wenn die beiden Seilkräfte \(F\) links und rechts gleich groß sind und die den Seilkräften entgegengerichtete Kraft auf die Rollenachse \(2\cdot F\) beträgt.
  • Durch den Einsatz einer losen Rolle halbiert sich die notwendige Zugkraft \(F\) und eine Last mit der Gewichtskraft \(F_g\) anzuheben, dafür muss du das Seil doppelt so lange ziehen.
  • Du kannst lose und feste Rollen zu einem Flaschenzug kombinieren.

Kraftwandler aus Seil und Rollen

Flaschenzug am Kran
Abb.
1
Flaschenzug am Kran

Durch eine geschickte Kombination von einem Seil und Rollen kannst du einen Kraftwandler bauen, mit dem eine hohe "Kraftersparnis" beim Heben von Lasten möglich ist. Schwere Lasten mit einer hohen Gewichtskraft können beim Einsatz eines sogenannten Flaschenzuges mit einer geringeren Kraft angehoben werden.

Flaschenzüge waren schon im Altertum bekannt und wurden z.B. beim Be- und Entladen von Schiffen eingesetzt. Auch heute kommen an Kränen, die Lasten von mehreren Tonnen heben müssen, noch Flaschenzüge zum Einsatz.

2 Kräftegleichgewicht an einer Rolle
Kräftegleichgewicht an einer Rolle

Zur Vereinfachung nehmen wir zunächst an, dass das Eigengewicht der Rollen und des Seils, mit denen ein Flaschenzug aufgebaut wird, vernachlässigt werden kann.

Für den Gleichgewichtsfall an einer Rolle gilt: Wirkt im linken Seilstück eine Kraft \(F\) nach unten, so muss auch im rechten Seilstück auch eine gleichgroße Kraft \(F\) nach unten wirken, damit sich die Rolle nicht dreht. In diesem Fall ist das linksdrehende und das rechtsdrehende Drehmoment gleich bzw. die Summe der beiden Drehmomente ist Null.

Aufgrund der beiden nach unten wirkenden Kräfte würde sich die Rolle jedoch beschleunigt nach unten bewegen. Kräftegleichgewicht herrscht erst dann, wenn im Rollenmittelpunkt eine Kraft \(2\cdot F\) senkrecht nach oben wirkt. Die Kraft \(2\cdot F\) muss in der Rollenmitte angreifen, damit durch sie kein zusätzliches Drehmoment hervorgerufen wird.

Bedingung für Gleichgewicht an der Rolle:

  • Die beiden gleichgerichteten Seilkräfte haben den gleichen Betrag \(F\) (bzw. die Summe aller Drehmomente ist Null).

  • Summe aller Kraftvektoren ist Null → Die den Seilkräften entgegengerichtete Kraft auf die Rollenachse hat den Betrag \(2\cdot F\).

3 Kräfte- und Streckenverhältnisse für eine feste Rolle, eine lose Rolle und eine Kombination aus einer festen und einer losen Rolle
Seil, feste Rolle, lose Rolle, Flaschenzug

Stell dir vor, du musst einen schweren Sack Zement von der Terrasse in den 2. Stock hochziehen. Dazu könntest du ein Seil vom 2. Stock herablassen, den Zementsack anbinden und ihn vom 2. Stock aus hochziehen. Bei dieser Methode musst du eine Zugkraft \(F\) aufbringen, die gleich der Gewichtskraft \(F_g\) (in den Darstellungen mit G bezeichnet) des Sackes ist. Der Vorteil dieses Vorgehens ist, dass du außer dem Seil keine Gerätschaften brauchst. Der Nachteil ist, dass du eine relativ hohe Zugkraft \(F\) aufbringen musst und die Körperhaltung beim Ziehen nach oben auf dauer schlecht für deinen Rücken ist.

Eine Verbesserung stellt die Verwendung einer festen Rolle dar, die z.B. an einem Dachbalken befestigt ist. Hierbei musst du zwar weiterhing eine Zugkraft \(F\) aufbringen, die gleich der Gewichtskraft des Zementsacks ist, jedoch kannst du nun am Boden stehen und von oben nach unten ziehen. Du kannst also auch deine eigene Gewichtskraft einsetzen.

Eine Halbierung der Zugkraft \(F\) bringt die Verwendung einer losen Rolle (Rolle, die mit nach oben gezogen wird). Jedoch hast du wie bei der Verwendung eines bloßen Seiles eine ungünstige Zugposition. Die "Kraftersparnis" erkaufst du dir dadurch, dass du dass Seil um eine Strecke \(s\) ziehen muss, die das Doppelte der Höhe \(h\) beträgt, um die du den Zement anheben willst.

Setzt du die lose und die feste Rolle zusammen ein, so hast du einen Flaschenzug aufgebaut. Beim Einsatz des Flaschenzugs aus Abb. 3 musst du als Zugkraft \(F\) nur die halbe Gewichtskraft \(F_g\) aufbringen und hast eine günstige Zugposition.

4 Kräfte- und Streckenverhältnisse bei einer Kombination verschiedener loser und fester Rollen
Flaschenzug mit mehreren losen Rollen

Die Animation in Abb. 4 zeigt einen Flaschenzug mit drei losen und drei festen Rollen. Durch die Kombination von mehreren losen und festen Rollen kannst du die notwendige Zugkraft \(F\), um eine Last mit der Gewichtskraft G anzuheben, weiter reduzieren. Aus der Betrachtung der wirkenden Kräfte beim dargestellten Aufbau folgt, dass du hier nur noch \(\frac{1}{6}\) der Gewichtskraft als Zugkraft \(F\) benötigst, um die Last anzuheben. Allerdings verlängert sich dabei auch die Strecke \(s\),  um die du das Seil zum Anheben der Last ziehen musst.

Die "Kraftersparnis" wird mit jeder weiteren losen Rolle größer. In der Praxis musst du jedoch auch die verwendeten losen Rollen mit anheben, sodass eine endlose Erweiterung des Flaschenzugs nicht sinnvoll ist. Auch tritt in der Realität an allen Achsen der Rollen Reibung auf. Um diese auszugleichen, musst du ebenfalls zusätzlich Kraft ausüben.

Flaschenzug mit drei losen Rollen

  1. Gib den Zusammenhang zwischen Hubhöhe \(h\) und Zugstrecke \(s\) bei dem nebenstehenden Flaschenzug an.

  2. Ermittle durch mehrfache Anwendung der Gleichgewichtsbedingung an der Rolle die Beziehung zwischen \(F\) und \(G\) bei dem nebenstehenden Flaschenzug.

 
5 Kombination verschiedener loser und fester Rollen zu einem Flaschenzug
Kompakte Bauweise eines Flaschenzuges

In Abb. 5 ist dargestellt, wie der obige Flaschenzug aus Abb. 4 viel kompakter aufgebaut werden kann. Du siehst in dem Bild auch, was man als "Flasche" bezeichnet. Daher hat der entsprechende Aufbau den Namen Flaschenzug.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim Flaschenzug spielt die Anzahl \(n\) der tragenden Seile eine wichtige Rolle.
  • Je größer die Zahl der tragenden Seile ist, desto weniger Zugkraft \(F_Z\) musst du aufbringen, um eine Last \(F_L\) anzuheben. Dafür verlängert sich die notwendige Zugstrecke \(s_Z\), um eine Last die Strecke \(s_L\) anzuheben.
  • Für die Zugkraft gilt \(F_Z=\frac{1}{n}\cdot F_L\), für die Zugstrecke hingegen \(s_Z=n\cdot s_L\).

Als Flaschenzug bezeichnet man eine geschickte Kombination von einer oder mehreren Rollen, um die ein Seil geschlungen ist. In den Abbildungen rechts siehst du verschiedene, immer komplizierter werdende Flaschenzüge.

Üblicherweise ist entweder das Seil oder aber eine der Rollen an der Decke oder einem starken Balken unterhalb der Decke befestigt. An einer anderen Rolle befindet sich jeweils eine Last, die mit Hilfe des Flaschenzugs angehoben werden soll. Schließlich ist ein Ende des Seils entweder an der Decke oder an einer der Rollen befestigt, an dem anderen Ende des Seils kann man ziehen.

Größen am Flaschenzug

Wir bezeichnen die Kraft der Last mit \({\vec F_{\rm{L}}}\), die Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird, mit \({s_{\rm{L}}}\), die Kraft, mit der man am Seil ziehen muss (die Zugkraft), mit \({\vec F_{\rm{Z}}}\) und die Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss (die Zugstrecke), mit \({s_{\rm{Z}}}\).

Tragende Seile

Entscheidend bei der Anordnung der Rolle(n) und des Seils ist es nun, dass die Last nicht mehr nur an einem, sondern an mehreren Teilen des Seils hängt. Man spricht bei diesen Teilen von den "tragenden Seilen", obwohl es sich natürlich immer nur um das gleiche Seil handelt. Die "tragenden Seile" sind in den Abbildungen jeweils durch rote Punkte markiert, ihre Anzahl bezeichnen wir mit \(n\). Je größer die Anzahl \(n\) der tragenden Seile eines Flaschenzuges, desto geringer ist die Zugkraft \({\vec F_{\rm{Z}}}\), die du aufbringen musst, um eine Last anzuheben.

Gesetze des Flaschenzugs

Wir nutzen folgende Bezeichnungen:

\(n\): Anzahl der "tragenden Seile"

\({F_{\rm{L}}}\): Betrag der Kraft der Last

\({s_{\rm{L}}}\): Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird

\({F_{\rm{Z}}}\): Betrag der Kraft, mit der man am Seil ziehen muss

\({s_{\rm{Z}}}\): Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss

Dann gilt:

1. Der Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft ist gleich dem \(n\)-ten Teil des Betrages \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last:\[{F_{\rm{Z}}} = \frac{1}{n} \cdot F_{\rm{L}}  \quad (1)\]

2. Die Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss, ist gleich dem \(n\)-fachen der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:\[{s_{\rm{Z}}} = n \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (2)\]

3. Bei jedem Flaschenzug ist das Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft und der Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Zugstrecke gleich dem Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last und der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (3)\]

Verständnisaufgabe

Leite mit Hilfe der beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Gleichung \((3)\) her.

Lösung

Mit \({F_{\rm{Z}}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n}\) und \({s_{\rm{Z}}} = n \cdot {s_{\rm{L}}}\) erhält man
\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n} \cdot n \cdot {s_{\rm{L}}} = \frac{n}{n} \cdot {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = 1 \cdot {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]

Hinweis: Manchmal werden Flaschenzüge auch horizontal angeordnet, um z.B. ein Auto, das im Schnee feststeckt, freizuziehen. Dann gelten die obigen Gleichungen entsprechend auch.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zum Flaschenzug zu lösen musst du häufig eine der drei Gleichungen \((1)\), \((2)\) oder \((3)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden drei Animationen.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{Z}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{\color{Red} n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{n}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\color{Red}{n}\). Schreibe das \(\color{Red}{n}\) auf der rechten Seite der Gleichung direkt als Zähler in den Bruch.\[\color{Red}{n} \cdot {F_{\rm{Z}}} = \frac{\color{Red}{n}}{\color{Red}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]
Kürze den Bruch auf der rechten Seite der Gleichung durch \(\color{Red}{n}\); der Bruch wird zu \(1\).\[\color{Red}{n} \cdot {F_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({F_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{\color{Red}{n} \cdot {F_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\).\[\color{Red}{n} = \frac{{F_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{n}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{n}} \cdot \color{Red}{F_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{F_{\rm{L}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{\frac {1}{n}} \cdot \color{Red}{F_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({n}\). Schreibe das \({n}\) auf der linken Seite der Gleichung direkt als Zähler in den Bruch, in dem \({n}\) im Nenner steht.\[\frac{n}{n} \cdot \color{Red}{F_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {n}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{n}}\); der Bruch wird zu \(1\).\[\color{Red}{F_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {n}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{F_{\rm{L}}}\) aufgelöst.
2 Schrittweise Auflösen der Formel \({F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\) für den Flaschenzug nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Die Gleichung\[\color{Red}{s_{\rm{Z}}} = {n} \cdot {s_{\rm{L}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{s_{\rm{Z}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{s_{\rm{Z}}} = \color{Red}{n} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{n}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\color{Red}{n} \cdot {s_{\rm{L}}} = {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{L}}}\) im Nenner steht.\[\frac{\color{Red}{n} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{L}}}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\).\[\color{Red}{n} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{n}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{s_{\rm{Z}}} = {n} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{s_{\rm{L}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{n} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}} = {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({n}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({n}\) im Nenner steht.\[\frac{{n} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}}}{{n}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{n}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({n}\).\[\color{Red}{s_{\rm{L}}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{n}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s_{\rm{L}}}\) aufgelöst.
3 Schrittweises Auflösen der Formel \({s_{\rm{Z}}} = {n} \cdot {s_{\rm{L}}}\) für den Flaschenzug nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Um die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{F_{\rm{Z}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{\color{Red}{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{Z}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s_{\rm{Z}}}\).\[\color{Red}{F_{\rm{Z}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{Z}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{F_{\rm{Z}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{s_{\rm{Z}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\).\[\color{Red}{s_{\rm{Z}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s_{\rm{Z}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = \color{Red}{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{F_{\rm{L}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\color{Red}{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{L}}}\) im Nenner steht.\[\frac{\color{Red}{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{L}}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\).\[\color{Red}{F_{\rm{L}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{F_{\rm{L}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}}\]nach \(\color{Red}{s_{\rm{L}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{F_{\rm{L}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{L}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({F_{\rm{L}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{F_{\rm{L}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{L}}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{L}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({F_{\rm{L}}}\).\[\color{Red}{s_{\rm{L}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{L}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s_{\rm{L}}}\) aufgelöst.
4 Schrittweises Auflösen der Formel \({F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\) für den Flaschenzug nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Wellrad kann physikalisch als Hebel aufgefasst werden.
  • Im Gleichgewichtsfall gilt am Wellrad \(F_1\cdot r_1=F_2\cdot r_2\).
  • Die genaue Richtung der Kraft spielt beim Wellrad nur eine untergeordnete Rolle, der Hebelarm entspricht immer dem Radius des Rades.

Aufbau und Funktion

Aufbau eines Wellrads
Abb.
1
Aufbau und Größen eines Wellrads

Ein Wellrad besteht aus zwei oder mehr verschieden großen "Rädern", die durch eine Achse, die sogenannte Welle, fest miteinander verbunden sind. Grundsätzlich kannst du das Wellrad als zweiseitigen Hebel auffassen. Die Länge des Hebelarms \(a\) einer angreifenden Kraft entspricht dabei gerade dem Radius \(r\) des Rades, an dem die Kraft angreift. Aufgrund der Konstruktion spielt es am Wellrad keine Rolle in welche Richtung genau eine Kraft \(F\) wirkt. Die Wirkungslinie der Kraft hat von der Welle als Drehpunkt immer genau den Radius des Rades als Abstand, an dem die Kraft angreift.

Gleichgewichtsbedingung

Entsprechend lautet die Gleichgewichtsbedingung für ein Wellrad mit zwei angreifenden Kräften \[F_1\cdot r_1=F_2\cdot r_2\] wobei die Kräfte \(F_1\) und \(F_2)\) für eine Drehung in entgegengesetzte Richtungen sorgen. Das linksdrehende Drehmoment muss also im Gleichgewicht auch beim Wellrad gerade dem rechtsdrehenden Drehmoment entsprechen und am größeren Rad muss eine geringere Kraft aufgebracht werden wie am kleinen Rad.

Nutzen in der Technik

Wellrad am Brunnen
Abb.
2
Wellrad am Brunnen

Wellräder wurden früher häufig eingesetzt, um Wasser aus Brunnen an die Oberfläche zu fördern (siehe Abb.2) oder schwere Lasten mit Kränen anzuheben. Aber auch beim Aufwickeln von Seilen auf Haspeln kamen Wellräder zum Einsatz.
Heute nutzen einige analoge Kraftmesser das Prinzip des Wellrads und auch den Fahrradantrieb kannst du insbesondere bei Nutzung einer Kettenschaltungen als Kombination von verschiedenen Wellrädern angesehen.

Mit einem Wellrad wird eine Last mit \(G = 500\,\rm{N}\) an einer Welle mit \(r_1 = 10\,\rm{cm}\) um \(h=8{,}0\,\rm{m}\) hochgezogen.

  1. Berechne den Betrag \(F\) der Kraft F, die dazu am äußeren Rad mit \(r_2 =40\,\rm{cm}\) wirken muss.

  2. Berechne die Strecke \(s\), die man am Seil ziehen muss.

  3. Berechne, welche Arbeit bei diesem Vorgang verrichtet wird.

 

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Hydraulische Systeme sind Kraftwandler und übertragen Kräfte mit Hilfe von Flüssigkeiten.
  • Die Verstärkung einer Kraft \(F\) wird bestimmt durch das Verhältnis der Flächen von Druckkolben zu Hubkolben \(\frac{A_2}{A_1}\).
  • Der Druck \(p\) in hydraulischen Systemen ist mit bis zu \(200\,\rm{bar}\) sehr groß.

Hydraulische Systeme übertragen und verstärken Kräfte

Hydraulischer Bagger
Abb.
1
Hydraulik am Bagger

Vorrichtungen, bei denen Kräfte mit Hilfe von Flüssigkeiten übertragen und verstärkt werden, nennt man hydraulische Systeme oder kurz Hydraulik. Beispiele für hydraulische Systeme sind der Wagenheber und die Bremsanlage eines Autos. Auch Bagger, Planierraupen, Schaufellader, Kipperfahrzeuge und moderne Traktoren arbeiten mit solchen Vorrichtungen.

Da auch hydraulische Systeme den Angriffspunkt, die Richtung und den Betrag einer Kraft verändern, kannst du sie auch als Kraftandler auffassen.

Funktionsweise

Funktion eines hydraulischen Systems
Abb.
2
Funktion eines hydraulischen Systems

Wie hydraulische Systeme funktionieren, ist vereinfacht in Abb. 2 an einer hydraulischen Presse dargestellt:
Auf den sog. Druckkolben mit der Querschnittsfläche \(A_1=10\,\rm{cm^2}\) wird eine Kraft \(F_1=1{,}0\,\rm{kN}\) ausgeübt.
Das führt zu einem Druck \(p\) in der Flüssigkeit. Dieser Druck \(p\) beträgt: \[p = \frac{{{F_1}}}{{{A_1}}} \Rightarrow p = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^3}}}{{10}}\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1{,}0 \cdot {10^2}\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 10\,{\rm{bar}}\]

Weil der Druck überall in der Flüssigkeit gleich groß ist, übt die Flüssigkeit auf jeden Quadratzentimeter der Begrenzungsfläche eine Kraft von \(100\,\rm{N}\) aus.
Die Kraft auf den Hubkolben mit der Querschnittsfläche \(A_2=60\,\rm{cm^2}\) beträgt daher:\[p = \frac{{{F_2}}}{{{A_2}}} \Leftrightarrow {F_2} = p \cdot {A_2}\] \[\Rightarrow {F_2} = 1{,}0 \cdot {10^2}\frac{\rm{N}}{\rm{cm}^2} \cdot 60\,\rm{cm}^2 = 6{,}0\,\rm{kN}\]

Die hydraulische Presse verändert also den Betrag, die Richtung und den Angriffspunkt der Kraft, das hydraulische System ist wie ein Hebel ein Kraftwandler.

Vorteile von hydraulischen Systemen

Während Hebel oft unförmig lang sind, lassen sich hydraulische Systeme auch auf kleinem Raum unterbringen. Entscheidend für die Verstärkung der Kraft ist dabei lediglich das Verhältnis der Querschnittsflächen der beiden Kolben, also \(\frac{A_2}{A_1}\). In den heute verwendeten hydraulischen Systemen wird als Flüssigkeit Öl verwendet. Der Druck im System beträgt dabei bis zu \(200\,\rm{bar}\).

Komplexere Hydrauliken

Um mit hydraulischen Systemen bei kompakter Bauweise größere Hubhöhen erreichen zu können, wie sie z.B. bei einer Hebebühne notwendig sind, wird in der Anwendung häufig mit einem Vorratsbehälter für Hydraulikflüssigkeit gearbeitet. Die Animation in Abb.3 zeigt schematisch die Funktionsweise. Durch geschickte Schaltung von Ventilen kann hier das Flüssigkeitsvolumen im System variiert werden. Der Druckkolben muss daher keine langen Wege zurücklegen, sondern kann sich wiederholt auf und ab bewegen.

3 Aufbau und Funktionsweise einer Hebebühne
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