Mechanik

Einfache Maschinen

M

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Maler Klecksel

Aufgabe

Ein Brett liegt auf zwei Stützen. Links steht ein schwerer Eimer mit der Gewichtskraft \({F_{\rm{E}}} = 250\,{\rm{N}}\), rechts steht Maler Klecksel mit der Gewichtskraft \({F_{\rm{K}}} = 750\,{\rm{N}}\). Die Gewichtskraft des homogenen Bretts ist \({F_{\rm{B}}} = 150\,{\rm{N}}\), alle anderen Größenangaben sind aus der Zeichnung zu entnehmen.

Berechne, in welchem Abstand  \({a_{\rm{K}}}\) rechts von der rechten Stütze sich Klecksel höchstens aufhalten darf, damit er nicht abstürzt.

Tipp: Überlege, an welcher Stelle sich der Drehpunkt befindet.

Lösung

 

Der Drehpunkt liegt über der rechten Stütze. Das gesamte Brett wird auf seinen Schwerpunkt reduziert, der sich in der Mitte des Brettes befindet (vgl. auch die untenstehende Bemerkung).

Aus der Zeichnung entnimmt man \({a_{\rm{B}}} = 90\,{\rm{cm}}\) und \({a_{\rm{E}}} = 250\,{\rm{cm}}\).

Nach dem Hebelgesetz gilt nun
\[\begin{eqnarray}{a_{\rm{K}}} \cdot {F_{\rm{K}}} &=& {\rm{ }}{a_{\rm{E}}} \cdot {F_{\rm{E}}} + {a_{\rm{B}}} \cdot {F_{\rm{B}}}\\{a_{\rm{K}}} &=& {\rm{ }}\frac{{{a_{\rm{E}}} \cdot {F_{\rm{E}}} + {a_{\rm{B}}} \cdot {F_{\rm{B}}}}}{{{F_{\rm{K}}}}}\end{eqnarray}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{a_{\rm{K}}} = \frac{{250\,{\rm{cm}} \cdot 250\,{\rm{N}} + 90\,{\rm{cm}} \cdot 150\,{\rm{N}}}}{{750\,{\rm{N}}}} = 101\,{\rm{cm}}\]
Klecksel darf sich also höchstens einen Meter rechts von der rechten Stütze aufhalten.

Bemerkung: Es ist auch möglich, das Brett gedanklich in zwei Teile rechts und links von der rechten Stütze zu unterteilen und statt des Drehmomentes für das gesamte Brett \({a_{\rm{B}}} \cdot {F_{\rm{B}}}\) links vom Drehpunkt für diese beiden Teile jeweils die zugehörigen Drehmomente rechts und links vom Drehpunkt einzurechnen; dieses Verfahren und die zugehörige Rechnung sind wesentlich komplizierter als oben gezeigt, liefern aber genau das gleiche Ergebnis. Man sieht also bei dieser Aufgabe wieder einmal eindrucksvoll die Bedeutung des Schwerpunktes; mit ihm können Probleme relativ leicht gelöst werden, denn: "Weiß ich die Gewichtskraft des Brettes und die Lage von dessen Schwerpunkt, so kann ich das Brett vergessen."