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Grundwissen

Einseitiger Hebel und Drehmoment

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim einseitigen Hebel greifen Kräfte nur auf eine Seite der Drehachse an, z.B. am Unterarm oder an einem Schraubenschlüssel.
  • Ein einseitiger Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der Produkte \(F\cdot a\) aller wirkenden Kräfte gleich null ist.
  • Das Produkt aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) wird auch als Drehmoment \(M\) bezeichnet: \(M=F\cdot a\).
Aufgaben Aufgaben

Einseitiger Hebel

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Abb. 1 Kräfte am einseitigen Hebel

Beim einseitigen Hebel wie deinem Unterarm oder einem Schraubenschlüssel befindet sich die Drehachse am Endpunkt eines starren Körpers (oder mehrerer starrer Körper). Die Kräfte am Hebel greifen also nur auf einer Seite der Drehachse an. Ein solcher einseitiger Hebel befindet sich im "Gleichgewicht", wenn die Summe der Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) aller in einer Richtung wirkenden Kräfte gleich der Summe der Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) aller in die andere Richtung wirkender Kräfte ist. Im in Abb.1 dargestellten einfachen Beispiel mit nur zwei wirkenden Kräften und unter vernachlässigung der Masse des Hebels selbst muss für den Gleichgewichtsfall also gelten \[F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2\quad\text{bzw.}\quad F_1\cdot a_1-F_2\cdot a_2=0\].

Allgemeine Bestimmung des Hebelarms

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Abb. 2 Allgemeine Bestimmung des Hebelarms am einseitigen Hebel

Beim einseitigen Hebel entspricht der Abstand zwischen dem Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) und der Drehachse \(\rm{D}\) nur dann dem Hebelarm, wenn die Kraft senkrecht zum Hebel wirkt. Im Allgemeinen bestimmst du den Hebelarm wie in Abb. 2 über den Abstand der Drehachse \(\rm{D}\) von der Wirkungslinie der Kraft \(\vec{F}\). Dies kannst du entweder mithilfe einer maßstabsgerechten Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen.

Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 2 berechnest du mittels \[\cos(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\cos(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]

Das Drehmoment

Befindet sich der Hebel wie in Abb. 2 nicht im Gleichgewicht, so übt die Kraft \(\vec{F_1}\) eine Drehwirkung auf die Drehachse aus. Diese Drehwirkung kannst du mit dem Drehmoment \(M\) beschreiben. Das Drehmoment ist allgemein definiert als Produkt aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\):\[\bbox[lightgreen,10px,border:2px solid grey]{M=F\cdot a}\]

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Abb. 3 Symbolik für links- und rechtsdrehende Drehmomente

Je nach der Drehrichtung, die von einem Drehmoment bewirkt wird, unterscheidet man linksdrehende und rechtsdrehende Momente und verwendet dabei die in Abb. 3 dargestellte Symbolik.

Die Einheit des Drehmoments ist \(\left[M\right]=1\,\rm{N\cdot m}\). Hierfür schreibt man jedoch nicht wie bei der Energie \(1\,\rm{J}\).

Im Alltag wird z.B. beim Montieren von Autorädern angegeben, mit welchem Drehmoment die Schraubenmuttern angezogen werden müssen.

Mit dem Begriff Drehmoment kannst du die Gleichgewichtsbedingung am Hebel auch wie folgt ausdrücken: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

Weitergehende Infos zum Drehmoment und seiner Berechnung mittels Vektoren findest im Abschnitt Drehbewegungen.

Aufgabe

Eine Maschinenschraube soll mit einem Drehmoment von \(38\,\rm{Nm}\) festgezogen werden.

a)Berechne den Betrag der Kraft, die bei einem \(60\,\rm{cm}\) langen Schraubenschlüssel dafür nötig ist.

Lösung

\[M = F \cdot a \Leftrightarrow F = \frac{M}{a} \Rightarrow F = \frac{{38\,{\rm{Nm}}}}{{0{,}60\,{\rm{m}}}} = 63\,{\rm{N}}\]

b)Berechne, welches Drehmoment man bei dem selben Schlüssel durch die Kraft \(150\,\rm{N}\) erhält.

Lösung

\[M = F \cdot a \Rightarrow M = 150\,{\rm{N}} \cdot 0{,}60\,{\rm{m}} = 90\,{\rm{Nm}}\]