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Aufgabe

Senner Hugo

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Der Senner Hugo trägt zwei Kübel an einem Balken der Länge \(l = 1,60{\rm{m}}\).

a)Zuerst will Hugo den Balken in der Mitte tragen. Den leichteren Kübel mit der Gewichtskraft vom Betrag \({F_1} = 230{\rm{N}}\) hängt er an einem Ende des Balkens ganz außen an.

Berechne, wo Hugo den schwereren Kübel mit \({F_2} = 320{\rm{N}}\) anhängen muss, wenn der Balken im Gleichgewicht sein soll, und zwar

•  wenn die Gewichtskraft des Balkens vernachlässigt wird

•  wenn die Gewichtskraft des Balkens mit \({F_{\rm{B}}} = 60{\rm{N}}\) berücksichtigt wird

b)Nach einiger Zeit will Hugo beide Kübel an den Enden des Balkens ganz außen anhängen.

Berechne, wie weit von der Mitte Hugo den Balken auf die Schulter legen muss, damit Gleichgewicht herrscht, und zwar

•  wenn die Gewichtskraft des Balkens vernachlässigt wird

•  wenn die Gewichtskraft des Balkens mit \({F_{\rm{B}}} = 60{\rm{N}}\) berücksichtigt wird

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a)Wenn Hugo den Balken in der Mitte tragen möchte, so gilt \({a_1} = 0{,}80{\rm{m}}\), gesucht ist \(a_2\). Nach dem Hebelgesetz ergibt sich\[{F_1} \cdot {a_1} = {F_2} \cdot {a_2} \Leftrightarrow {a_2} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1}}}{{{F_2}}} \Rightarrow {a_2} = \frac{{230\,{\rm{N}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}}}}{{320\,{\rm{N}}}} = 0{,}58\,{\rm{m}}\]

Ohne große Rechnung erkennt man sofort, dass in diesem Fall die Gewichtskraft des Balkens für die Lage des zweiten Kübels keine Rolle spielt.

b)Wenn Hugo beide Kübel an die Enden des Balkens hängen möchte, so sind zwei Unbekannte \({a_1}\) und \({a_2}\) gesucht. Für diese beiden Unbekannten haben wir die Gleichungen\[{a_1} + {a_2} = 1{,}60\,{\rm{m}}\quad (1)\]Im ersten Fall (keine Berücksichtigung der Gewichtskraft des Balkens) lautet das Hebelgesetz\[{F_1} \cdot {a_1} = {F_2} \cdot {a_2}\quad(2)\]Löst man Gleichung \((1)\) nach \(a_2\) auf\[{a_1} + {a_2} = 1{,}60\,{\rm{m}} \Leftrightarrow {a_2} = 1,60\,{\rm{m}} - {a_1}\quad(1')\]und setzt die rechte Seite von Gleichung \((1')\) in Gleichung \((2)\) ein, so ergibt sich\[\begin{eqnarray}{F_1} \cdot {a_1} &=& {F_2} \cdot \left( {1{,}60\,{\rm{m}} - {a_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {F_1} \cdot {a_1} &=& {F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}} - {F_2} \cdot {a_1}\\ \Leftrightarrow {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_1} &=& {F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}}\\ \Leftrightarrow \left( {{F_1} + {F_2}} \right) \cdot {a_1} &=& {F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}}\\ \Leftrightarrow {a_1} &=& \frac{{{F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}}}}{{{F_1} + {F_2}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_1} = \frac{{320\,{\rm{N}} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}}}}{{230\,{\rm{N}} + 320\,{\rm{N}}}} = 0{,}93\,{\rm{m}}\]und mit Gleichung \((1')\)\[{a_2} = 1{,}60\,{\rm{m}} - 0{,}93\,{\rm{m}} = 0{,}67\,{\rm{m}}\]

Im zweiten Fall (Berücksichtigung der Gewichtskraft des Balkens) lautet das Hebelgesetz nun\[{F_1} \cdot {a_1} + {F_{\rm{B}}} \cdot \left( {{a_1} - 0{,}80\,{\rm{m}}} \right) = {F_2} \cdot {a_2}(2')\]Setzt man die rechte Seite von Gleichung \((1')\) in Gleichung \((2')\) ein, so ergibt sich\[\begin{eqnarray}{F_1} \cdot {a_1} + {F_{\rm{B}}} \cdot \left( {{a_1} - 0{,}80\,{\rm{m}}} \right) &=& {F_2} \cdot \left( {1{,}60\,{\rm{m}} - {a_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {F_1} \cdot {a_1} + {F_{\rm{B}}} \cdot {a_1} - {F_{\rm{B}}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}} &=& {F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}} - {F_2} \cdot {a_1}\\ \Leftrightarrow {F_1} \cdot {a_1} + {F_{\rm{B}}} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_1} &=& {F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}} + {F_{\rm{B}}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}}\\ \Leftrightarrow \left( {{F_1} + {F_{\rm{B}}} + {F_2}} \right) \cdot {a_1} &=& {F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}} + {F_{\rm{B}}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}}\\ \Leftrightarrow {a_1} &=& \frac{{{F_2} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}} + {F_{\rm{B}}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}}}}{{{F_1} + {F_{\rm{B}}} + {F_2}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebeben Werte liefert\[{a_1} = \frac{{320\,{\rm{N}} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}} + 60\,{\rm{N}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}}}}{{230\,{\rm{N}} + 60\,{\rm{N}} + 320\,{\rm{N}}}} = 0{,}92\,{\rm{m}}\]und mit Gleichung \((1')\)\[{a_2} = 1{,}60\,{\rm{m}} - 0{,}92\,{\rm{m}} = 0{,}68\,{\rm{m}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

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