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Grundwissen

Strategie beim Lösen von Bewegungsaufgaben

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die NEWTONschen Gesetze ermöglichen die Bewegung eines Körpers in der Zukunft vorherzusagen, wenn Anfangsbedingungen und wirkende Kräfte bekannt sind.
  • Man unterscheidet zwischen drei verschiedenen Fällen der Beschleunigung \(\vec{a}\).
Aufgaben Aufgaben

Mit Hilfe des zweiten NEWTON'schen Gesetzes sind wir nun in der Lage, die Bewegung eines Körpers in der Zukunft vorherzusagen. Dazu müssen wir außer dem jetzigen Ort und der jetzigen Geschwindigkeit des Körpers wissen, ...

  • welche Kräfte auf den Körper jetzt und in der Zukunft wirken, in welche Richtung diese Kräfte wirken und wie groß diese Kräfte sind

  • wie groß die Masse des Körpers jetzt und in der Zukunft ist

Kennen wir nämlich alle auf den Körper wirkenden Kräfte, so können wir zuerst einmal vektoriell die resultierende Kraft \(\vec F_{\rm{res}}\) auf den Körper ermitteln:
\[{\vec F_{\rm{res}}} = {\vec F_1} + {\vec F_2} + \,\,.\,\,.\,\,.\]
Nach dem zweiten NEWTON'schen Gesetz können wir dann den Beschleunigungsvektor \(\vec a\) bestimmen:
\[{\vec F_{{\rm{res}}}} = m \cdot \vec a \Leftrightarrow \vec a = \frac{{{{\vec F}_{{\rm{res}}}}}}{m}\]
Dann müssen wir drei Fälle unterscheiden:

1. Fall: Der Beschleunigungsvektor ist konstant der Nullvektor: \(\vec a= \vec 0\)

Ist der Betrag des Beschleunigungsvektors Null, d.h. wird der Körper gar nicht beschleunigt, so bewegt sich der Körper jetzt und in der Zukunft gleichförmig weiter. Wir können somit alle Bewegungsgesetze der gleichförmigen Bewegung nutzen und sowohl den Ort als auch die Geschwindigkeit des Körpers in der Zukunft vorhersagen.

2. Fall: Der Beschleunigungsvektor ist konstant (in Richtung und Betrag), aber nicht Null: \(\vec a= \rm{const.}\)

Ist der Beschleunigungsvektor in Richtung und Betrag konstant, d.h. wird der Körper konstant beschleunigt oder verzögert, so bewegt sich der Körper jetzt und in der Zukunft gleichmäßig beschleunigt weiter. Wir können somit alle Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nutzen und sowohl den Ort als auch die Geschwindigkeit des Körpers vorhersagen.

3. Fall: Der Beschleunigungsvektor ist nicht konstant

Ist der Beschleunigungsvektor nicht konstant, so bewegt sich der Körper (ungleichmäßig) beschleunigt weiter. Dies ist z.B. dann der Fall, wenn die resultierende Kraft und/oder die Masse des Körpers nicht konstant ist. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Start einer Rakete: Bei zunehmender Höhe wird die Schwerkraft auf die Rakete immer kleiner und auch die Masse der Rakete wird durch den Treibstoffausstoß immer kleiner. Solche ungleichmäßig beschleunigten Bewegungen sind in seltenen Fällen mit Mitteln der Universitätsmathematik lösbar, allgemein aber alle mit Hilfe des Computers berechenbar. Eine Einführung in die dabei benutzte sogenannte Methode der kleinen Schritte findest du an anderer Stelle auf LEIFIphysik.

Beispiele für die Anwendung der oben besprochenen Strategie

Beispiel 1: Ein Auto fährt mit eingeschaltetem Motor einen Hang hinauf

Abb. 1 Kräfte auf das Auto beim Fahren bergauf

Wenn wir den Luftwiderstand des Autos vernachlässigen, so wirken während dieser Bewegung im Wesentlichen vier Kräfte auf das Auto:

  • die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete konstante Gewichtskraft \(\color{Blue}{{\vec F}_{\rm{G}}}\)

  • die senkrecht zum Hang schräg nach oben gerichtete konstante Normalkraft des Bodens \(\color{Cyan}{{\vec F}_{\rm{N}}}\)

  • die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete konstante Reibungskraft \(\color{Magenta}{{\vec F}_{\rm{R}}}\)

  • die in Bewegungsrichtung gerichtete Motorkraft \(\color{Darkgreen}{{\vec F}_{\rm{Motor}}}\)

Durch Vektoraddition erhält man die resultierende Kraft \(\color{Red}{{\vec F}_{\rm{res}}}\), die in diesem Fall \(\vec 0\) beträgt - auf das Auto wirkt also keine resultierende Kraft.

Vernachlässigen wir nun die Verkleinerung der Masse des Autos durch den Verbrauch von Treibstoff, so bleibt die Masse des Autos wieder konstant.

Somit ist der Beschleunigungsvektor \(\vec a= \vec 0\), so dass sich das Auto gleichförmig den Hang hinaufbewegt.

Zahlenbeispiel: \({F_{\rm{G}}} = 10000\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{N}}} = 7071\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{R}}} = 2500\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{Motor}}} = 9517\,{\rm{N}}\); durch Vektoraddition ergibt sich \({F_{{\rm{res}}}} = 0{\rm{N}}\) und mit \(m = 1000\,{\rm{kg}}\)
\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{0\,{\rm{N}}}}{{1000\,{\rm{kg}}}} =0 \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Beispiel 2: Ein Auto rollt mit ausgeschaltetem Motor einen Hang hinab

Abb. 2 Kräfte auf ein bergab rollendes Auto

Wenn wir wieder den Luftwiderstand des Autos vernachlässigen, so wirken während dieser Bewegung im Wesentlichen drei Kräfte auf das Auto:

  • die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete konstante Gewichtskraft \(\color{Blue}{{\vec F}_{\rm{G}}}\)

  • die senkrecht zum Hang schräg nach oben gerichtete konstante Normalkraft des Bodens \(\color{Cyan}{{\vec F}_{\rm{N}}}\)

  • die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete konstante Reibungskraft \(\color{Magenta}{{\vec F}_{\rm{R}}}\)

Durch Vektoraddition erhält man die konstante resultierende Kraft \(\color{Red}{{\vec F}_{\rm{res}}}\), die in Bewegungsrichtung des Autos zeigt.

Da das Auto keinen Treibstoff verbraucht, bleibt die Masse des Autos ebenfalls konstant.

Somit ist der Beschleunigungsvektor \(\vec a\) in Betrag und Richtung konstant in Bewegungsrichtung des Autos, so dass sich das Auto gleichmäßig beschleunigt den Hang hinunter bewegt.

Zahlenbeispiel: \({F_{\rm{G}}} = 10000\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{N}}} = 8660\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{R}}} = 2500\,{\rm{N}}\); durch Vektoraddition ergibt sich \({F_{{\rm{res}}}} = 2500\,{\rm{N}}\) und mit \(m = 1000\,{\rm{kg}}\)
\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{2500\,{\rm{N}}}}{{1000\,{\rm{kg}}}} = 2{,}5\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Beispiel 3: Ein Auto rollt mit ausgeschaltetem Motor auf einer ebenen Fläche

Abb. 3 Kräfte auf ein Auto beim Fahren in der Ebene

Wenn wir wieder den Luftwiderstand des Autos vernachlässigen, so wirken während dieser im Wesentlichen drei Kräfte auf das Auto:

  • die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete konstante Gewichtskraft \(\color{Blue}{{\vec F}_{\rm{G}}}\)

  • die senkrecht zum Boden nach oben gerichtete konstante Normalkraft des Bodens \(\color{Cyan}{{\vec F}_{\rm{N}}}\)

  • die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtete konstante Reibungskraft \(\color{Magenta}{{\vec F}_{\rm{R}}}\)

Durch Vektoraddition erhält man die resultierende Kraft \(\color{Red}{{\vec F}_{\rm{res}}}\), die nun entgegen der Bewegungsrichtung des Autos zeigt. Hinweis: Kraft- und/oder Beschleunigung entgegen der Bewegungsrichtung verdeutlicht man oft durch ein \(-\)-Zeichen vor dem Kraft- und/oder Beschleunigungsbetrag.

Da das Auto wieder keinen Treibstoff verbraucht, bleibt die Masse des Autos ebenfalls konstant.

Somit ist der Beschleunigungsvektor \(\vec a\) in Betrag und Richtung konstant entgegen der Bewegungsrichtung des Autos, so dass sich das Auto gleichmäßig verzögert (gebremst) auf der ebenen Fläche bewegt.

Zahlenbeispiel: \({F_{\rm{G}}} = 10000\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{N}}} = 10000\,{\rm{N}}\), \({F_{\rm{R}}} = 2500\,{\rm{N}}\); durch Vektoraddition ergibt sich \({F_{{\rm{res}}}} = (-)2500\,{\rm{N}}\) und mit \(m = 1000\,{\rm{kg}}\)
\[a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \Rightarrow a = \frac{{(-)2500\,{\rm{N}}}}{{1000\,{\rm{kg}}}} = (-)2{,}5\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]