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Aufgabe

Fernsehturm

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Fernsehturm München

Um die Höhe der Zuschauerplattform des Münchner Fernsehturms abzuschätzen, stellt sich eine Person im Aufzug auf eine Personenwaage.

  • Vor dem Anfahren zeigt sie \( F_0 = 490 \rm{N} \) an.
  • Beim Anfahren zeigt die Waage \( \Delta t_1 = 6,0 \rm{s} \) lang die Kraft \( F_1 = 550 \rm{N} \).
  • Anschließend zeigt die Waage für \( \Delta t_2 = 19 \rm{s} \) lang die \( F_2 = 490 \rm{N} \).
  • Schließlich zeigt die Waage für \( \Delta t_3 = 6,0 \rm{s} \) lang nur noch die Kraft \( F_3 = 430 \rm{N} \) an. Dann hält der Aufzug.
a)

Fuhr die Person aufwärts oder abwärts?

b)

In welcher Höhe befindet sich die Plattform?

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a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Veranschaulichung zur Lösung

Die Person fuhr aufwärts! Begründung:

  • Im Ruhezustand ist die auf die Waage wirkende Kraft \( F_0 \).
  • Im nächsten Zeitabschnitt übt die Person eine größere Kraft auf die Waage aus. Die Zusatzkraft vom Betrag \( F_1 - F_0 \) drückt im Vergleich zum Ruhezustand zusätzlich nach unten. \( F_1 - F_0 \) ist die reactio zu derjenigen Kraft, welche der Aufzug auf die Person ausübt. Demnach muss die actio nach oben gerichtet sein, der Aufzug bewegt sich während der Zeit \( \Delta t_1 \) beschleunigt nach oben.
  • Während der nächsten Zeitspanne \( \Delta t_2 \) ist die Geschwindigkeit des Aufzugs konstant, es drückt die gleiche Kraft auf die Waage wie im Ruhezustand.
  • Während der Zeitspanne \( \Delta t_3 \) ist die Kraft auf die Waage kleiner als im Ruhezustand. Dies liegt daran, dass Aufzug und Person abgebremst werden (Kraft nach unten). Die reactio dieser Kraft, welche an der Waage angreift zeigt daher nach oben und somit kommt es zur geringeren Anzeige.
b)

Berechnung der Höhe:

Vorüberlegung: Für die Gesamthöhe h gilt: \( h = h_1 + h_2 + h_3 \)Bei den gegebenen Daten: \( \Delta t_1 = \Delta t_3 \) und \( F_1 - F_0 = - \left( F_3 - F_0 \right) \) folgt aus Symmetrieüberlegungen, dass \( h_1 = h_3 \) ist.

Berechnung von \( h_1 \) und der Geschwindigkeit \( v_1 \) am Ende des 1. Intervalls:

Berechnung der Beschleunigung:\[ \begin{array}{} F_{res} = m \cdot a_1 \quad \Rightarrow \quad F_1 - F_0 = m \cdot a_1 \quad \Rightarrow \quad a_1 = \frac{F_1 - F_0}{m} \quad \Rightarrow \\ \\a_1 = \frac{F_1 - F_0}{\frac{F_0}{g}} \quad \Rightarrow \quad a_1 = \frac{ \left( F_1 - F_0 \right) \cdot g }{F_0} \quad \Rightarrow \quad a_1 = \frac{ \left( 550 - 490 \right) \cdot 9,81 }{490} \rm{\frac{m}{s^2}} \approx 1,20 \rm{\frac{m}{s^2}} \end{array} \]Berechnung der Höhe \( h_1 \):\[ h_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot \left( \Delta t_1 \right)^2 \quad \Rightarrow \quad h_1 = \frac{1}{2} \cdot 1,20 \cdot \left( 6,0 \right)^2 \rm{m} = 22 \rm{m} \]Berechnung der Geschwindigkeit \( v_1 \):\[ v_1 = a_1 \cdot \Delta t_1 \quad \Rightarrow \quad v_1 = 1,20 \cdot 6,0 \rm{\frac{m}{s}} = 7,2 \rm{\frac{m}{s}} \]Berechnung der Höhe \( h_2 \): In diesem Zeitintervall liegt eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit \( v_1 \) vor:\[ h_2 = v_1 \cdot \Delta t_2 \quad \Rightarrow \quad h_2 = 7,2 \cdot 19 \rm{m} = 137 \rm{m} \]Für die gesamte Höhe gilt: \( h = 22 \rm{m} + 137 \rm{m} + 22 \rm{m} = 181 \rm{m} \)

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kraft und Bewegungsänderung